Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
. O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar completar quadrados em
e
para depois isolar
.
Passo 2
Completar o quadrado em
e em
:
Passo 3
Substituir essas expressões na equação original:
Passo 4
Reorganizar termos constantes:
Passo 5
Passo 6
Isolar
:
Passo 7
A partir dessa forma, identificamos o tipo de quádrica: é um parabolóide elíptico que se abre no sentido negativo de
, com vértice em
.
Passo 8
Para as curvas de nível, fixamos
. Então:
Passo 9
Isso descreve círculos centrados em
de raio
, válidos para
. No caso
o círculo degenera em um ponto (o vértice).
O esboço da superfície mostra círculos concêntricos de raio crescente à medida que descemos em , formando um parabolóide elíptico voltado para baixo.
O esboço da superfície mostra círculos concêntricos de raio crescente à medida que descemos em
Resposta
A superfície é um parabolóide elíptico de concavidade voltada para baixo, com vértice em (1,2,0). As curvas de nível são círculos centrados em (1,2) de raio
para
.