Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
x^2-2 x+y^2-4 y+2 z+5=0

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática x^2-2x+y^2-4y+2z+5=0. O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar completar quadrados em x e y para depois isolar z.

Passo 2

Completar o quadrado em x e em y:
x^2-2x=(x-1)^2-1
y^2-4y=(y-2)^2-4

Passo 3

Substituir essas expressões na equação original:
(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+2z+5=0

Passo 4

Reorganizar termos constantes:
(x-1)^2+(y-2)^2+2z+(-1-4+5)=0

Passo 5

(x-1)^2+(y-2)^2+2z=0

Passo 6

Isolar z:
z=-tfrac12l((x-1)^2+(y-2)^2r)

Passo 7

A partir dessa forma, identificamos o tipo de quádrica: é um parabolóide elíptico que se abre no sentido negativo de z, com vértice em (1,2,0).

Passo 8

Para as curvas de nível, fixamos z=k. Então:
(x-1)^2+(y-2)^2=-2k

Passo 9

Isso descreve círculos centrados em (1,2) de raio r=raiz-2k, válidos para k<=0. No caso k=0 o círculo degenera em um ponto (o vértice).
O esboço da superfície mostra círculos concêntricos de raio crescente à medida que descemos em z, formando um parabolóide elíptico voltado para baixo.

Resposta

A superfície é um parabolóide elíptico de concavidade voltada para baixo, com vértice em (1,2,0). As curvas de nível são círculos centrados em (1,2) de raio raiz-2z para z<=0.

Exercícios relacionados