Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
x^2-2 x+y^2-2 y+9 z^2+18 z+2=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^2-2x+y^2-2y+9z^2+18z+2=0
Estamos no conteúdo de quádricas em R^3 e vamos precisar completar quadrados para identificar a superfície canônica.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x, y e z:
Para x:
x^2-2x=(x-1)^2-1
Para y:
y^2-2y=(y-1)^2-1
Para z:
9z^2+18z=9(z^2+2z)=9l((z+1)^2-1r)=9(z+1)^2-9

Passo 3

Substituindo na equação original e somando constantes:
(x-1)^2-1+(y-1)^2-1+9(z+1)^2-9+2=0
Os termos constantes fazem -1-1-9+2=-9), então:
(x-1)^2+(y-1)^2+9(z+1)^2=9

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 9 para chegar à forma canônica:
(x-1)^29+(y-1)^29+(z+1)^2=1
Isso mostra que a superfície é um elipsoide centrado em (1,1,-1), com semi-eixos de comprimentos 3 em x e y, e 1 em z.

Passo 5

Para as curvas de nível, fixamos z=k. A interseção com o plano z=k dá:
(x-1)^29+(y-1)^29=1-(k+1)^2
Ou seja
(x-1)^2+(y-1)^2=9l[1-(k+1)^2r]
Com isso, para |k+1|<=1 temos círculos de centro (1,1) e raio 3raiz1-(k+1)^2.

Passo 6

O esboço da superfície é um elipsoide deslocado para (1,1,-1). As curvas de nível no plano z=constante são círculos cujo raio varia de 0 (quando k=-2 ou k=0) até 3 (quando k=-1).

Resposta

A superfície é um elipsoide dado por
(x-1)^29+(y-1)^29+(z+1)^2=1,
centrado em (1,1,-1) com semi-eixos de comprimentos 3, 3 e 1. As curvas de nível em z=k são círculos de centro (1,1) e raio 3raiz1-(k+1)^2 para -2<= k<=0.

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