Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z}{36}=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z}{36}=0
e pede (a) a forma reduzida, (b) os traços por planos paralelos aos planos coordenados e (c) um esboço. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas e traços.

Passo 2

Isolamos z para obter a forma reduzida. Multiplicando tudo por 36,
9x^{2}+4y^{2}-z=0
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z=9x^{2}+4y^{2}.
Esta é a equação de um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo de z.

Passo 3

Traço com o plano z=0: basta substituir z=0 na equação reduzida,
0=9x^{2}+4y^{2} \;\Longrightarrow\; x=0,\;y=0.
O traço em z=0 é o ponto (0,0,0).

Passo 4

Traço com o plano x=0: substituindo x=0 na forma reduzida,
z=9\cdot0^{2}+4y^{2}=4y^{2},
que em coordenadas (y,z) é uma parábola com vértice na origem e aberta para z>0.

Passo 5

Traço com o plano y=0: substituindo y=0,
z=9x^{2}+4\cdot0^{2}=9x^{2},
que em (x,z) também é uma parábola com vértice na origem e aberta para z>0.

Passo 6

Traços em planos paralelos aos coordenados:
para z=k>0,
9x^{2}+4y^{2}=k \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{k/9}+\frac{y^{2}}{k/4}=1,
ou seja, elipses de semi-eixos \sqrt{k/9} e \sqrt{k/4}.
para x=x_{0},
z=9x_{0}^{2}+4y^{2},
uma parábola em (y,z) deslocada em z.
para y=y_{0},
z=9x^{2}+4y_{0}^{2},
uma parábola em (x,z) deslocada em z.

Passo 7

Esboço: desenhe o eixo z vertical e x,y horizontais. Marque no plano z=1 a elipse \tfrac{x^{2}}{1/9}+\tfrac{y^{2}}{1/4}=1. Em cada plano x= constante ou y= constante aparecem parábolas abertas para cima. O conjunto forma um paraboloide elíptico cujo vértice é a origem e que se expande com secções elípticas para z>0.

Resposta

Equação reduzida:
z = 9x^{2} + 4y^{2}.
Traços principais:
\bullet Em z=0: ponto (0,0,0).
\bullet Em x=0: parábola z=4y^{2}.
\bullet Em y=0: parábola z=9x^{2}.
Traços em z=k>0: elipses \tfrac{x^{2}}{k/9}+\tfrac{y^{2}}{k/4}=1.
É um paraboloide elíptico de vértice na origem, aberto para z>0.

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