Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede (a) a forma reduzida, (b) os traços por planos paralelos aos planos coordenados e (c) um esboço. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas e traços.
Passo 2
Isolamos
para obter a forma reduzida. Multiplicando tudo por
,
logo
Esta é a equação de um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo de
.
Passo 3
Traço com o plano
: basta substituir
na equação reduzida,
O traço em
é o ponto
.
Passo 4
Traço com o plano
: substituindo
na forma reduzida,
que em coordenadas
é uma parábola com vértice na origem e aberta para
.
Passo 5
Traço com o plano
: substituindo
,
que em
também é uma parábola com vértice na origem e aberta para
.
Passo 6
Traços em planos paralelos aos coordenados:
para ,
para
ou seja, elipses de semi-eixos
e
.
para ,
para
uma parábola em
deslocada em
.
para ,
para
uma parábola em
deslocada em
.
Passo 7
Esboço: desenhe o eixo
vertical e
horizontais. Marque no plano
a elipse
. Em cada plano
constante ou
constante aparecem parábolas abertas para cima. O conjunto forma um paraboloide elíptico cujo vértice é a origem e que se expande com secções elípticas para
.
Resposta
Equação reduzida:
Traços principais:
Em
: ponto
.
Em
: parábola
.
Em
: parábola
.
Traços em : elipses
.
É um paraboloide elíptico de vértice na origem, aberto para .
Traços em
É um paraboloide elíptico de vértice na origem, aberto para