Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
9 x^{2}-6 y^{2}+4 z^{2}-18 x+36 y-16 z-65=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície de segunda ordem
9x^{2}-6y^{2}+4z^{2}-18x+36y-16z-65=0
e pede (1) a forma reduzida por completamento de quadrados, (2) os traços em planos paralelos aos planos coordenados e (3) um esboço do gráfico. O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas e uso de completamento de quadrado.

Passo 2

Vamos agrupar em x, y e z e completar o quadrado em cada variável:
Para x:
9x^{2}-18x = 9\bigl(x^{2}-2x\bigr) =9\bigl[(x-1)^{2}-1\bigr] =9(x-1)^{2}-9.
Para y:
-6y^{2}+36y = -6\bigl(y^{2}-6y\bigr) =-6\bigl[(y-3)^{2}-9\bigr] =-6(y-3)^{2}+54.
Para z:
4z^{2}-16z =4\bigl(z^{2}-4z\bigr) =4\bigl[(z-2)^{2}-4\bigr] =4(z-2)^{2}-16.
Substituindo na equação original e somando constantes:
9(x-1)^{2}-9 \;-\;6(y-3)^{2}+54 \;+\;4(z-2)^{2}-16 \;-\;65 =0
9(x-1)^{2}-6(y-3)^{2}+4(z-2)^{2} -36 =0 \quad\Longrightarrow\quad 9(x-1)^{2}-6(y-3)^{2}+4(z-2)^{2}=36.
Dividindo por 36, obtemos a forma canônica:
\frac{(x-1)^{2}}{4} \;-\; \frac{(y-3)^{2}}{6} \;+\; \frac{(z-2)^{2}}{9} =1.
Esta é a equação de um hiperbolóide de uma folha, centrado em (1,3,2), com eixos principais paralelos aos eixos coordenados.

Passo 3

Traços em planos paralelos aos planos coordenados:
Plano x=k. Na forma canônica:
\frac{(k-1)^{2}}{4} -\frac{(y-3)^{2}}{6} +\frac{(z-2)^{2}}{9} =1 \;\Longrightarrow\; -\frac{(y-3)^{2}}{6} +\frac{(z-2)^{2}}{9} =1-\frac{(k-1)^{2}}{4}.
Para valores de k tais que 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}>0, o traço é uma hipérbole em (y,z). Caso 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}=0, fica par de retas; para 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}<0, não há pontos reais.
Plano y=k.
\frac{(x-1)^{2}}{4} +\frac{(z-2)^{2}}{9} =1+\frac{(k-3)^{2}}{6}.
Sempre positivo no lado direito, dá elipses centradas em (1,2) no plano (x,z).
Plano z=k.
\frac{(x-1)^{2}}{4} -\frac{(y-3)^{2}}{6} =1-\frac{(k-2)^{2}}{9}.
Para \bigl|k-2\bigr|<3 são hipérboles em (x,y); se \bigl|k-2\bigr|=3, par de retas; se \bigl|k-2\bigr|>3, vazio.

Passo 4

Esboço do gráfico: trata-se de um hiperbolóide de uma folha com eixo principal ao longo da direção do eixo y (coeficiente negativo em (y-3)^2). Os cortes por planos y=const são elipses, e por x=const ou z=const são hipérboles. O centro está em (1,3,2).
Um desenho simplificado mostraria elipses crescendo para valores extremos de y, ligadas por seções hiperbólicas ao redor de (1,3,2).

Resposta

Forma reduzida:
\frac{(x-1)^{2}}{4} -\frac{(y-3)^{2}}{6} +\frac{(z-2)^{2}}{9} =1.
Traços:
— Para x=k: hipérboles em (y,z) quando 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}>0.
— Para y=k: elipses em (x,z).
— Para z=k: hipérboles em (x,y) quando \bigl|k-2\bigr|<3.
Gráfico: hiperbolóide de uma folha centrado em (1,3,2), eixo principal paralelo a Oy.

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