Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
9 x^{2}-6 y^{2}+4 z^{2}-18 x+36 y-16 z-65=0
Passo 1
O enunciado dá a superfície de segunda ordem
9x^{2}-6y^{2}+4z^{2}-18x+36y-16z-65=0
e pede (1) a forma reduzida por completamento de quadrados, (2) os traços em planos paralelos aos planos coordenados e (3) um esboço do gráfico. O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas e uso de completamento de quadrado.
Passo 2
Vamos agrupar em x, y e z e completar o quadrado em cada variável:
Para valores de k tais que 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}>0, o traço é uma hipérbole em (y,z). Caso 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}=0, fica par de retas; para 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}<0, não há pontos reais.
Para \bigl|k-2\bigr|<3 são hipérboles em (x,y); se \bigl|k-2\bigr|=3, par de retas; se \bigl|k-2\bigr|>3, vazio.
Passo 4
Esboço do gráfico: trata-se de um hiperbolóide de uma folha com eixo principal ao longo da direção do eixo y (coeficiente negativo em (y-3)^2). Os cortes por planos y=const são elipses, e por x=const ou z=const são hipérboles. O centro está em (1,3,2).
Um desenho simplificado mostraria elipses crescendo para valores extremos de y, ligadas por seções hiperbólicas ao redor de (1,3,2).
Traços:
— Para x=k: hipérboles em (y,z) quando 1-\frac{(k-1)^{2}}{4}>0.
— Para y=k: elipses em (x,z).
— Para z=k: hipérboles em (x,y) quando \bigl|k-2\bigr|<3.
Gráfico: hiperbolóide de uma folha centrado em (1,3,2), eixo principal paralelo a Oy.