Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádrupla de segunda ordem
e pede (i) a forma reduzida (canônica), (ii) seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e (iii) um esboço do gráfico. Vamos usar completamento de quadrados e classificação de quádricas em coordenadas deslocadas.
Passo 2
Agrupamos termos por variável e completamos quadrados:
– Em
:
– Em
:
– Em
:
Substituindo na equação original:
Somando as constantes:
. Logo
Passo 3
Isolando o termo constante e dividindo por
, obtemos a forma reduzida:
Esta é a forma canônica.
Passo 4
Como há um coeficiente positivo e dois negativos, trata-se de um hiperbolóide de duas folhas com eixo principal paralelo ao eixo
e centro em
. A superfície só existe quando o termo positivo supera a soma dos termos negativos.
Passo 5
Traços por planos paralelos:
-
Plano
. Substituindo na forma reduzida: – Se, há elipses.
– Se, reduz-se a um ponto (caso ).
– Se, não há traço real. -
Plano
. sempre hiperbolas, para todo. -
Plano
. também hiperbolas para todo.
Passo 6
Esboço: são duas “folhas” simétricas em relação ao plano
.
– A folha à direita inicia em como um ponto único
e cresce em elipses conforme
.
– A folha à esquerda inicia em como ponto único
e cresce em elipses conforme
.
– No plano e no plano
vemos, respectivamente, as hiperbolas canônicas
e
.
– A folha à direita inicia em
– A folha à esquerda inicia em
– No plano
Resposta
A forma reduzida é
que é um hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo a
.
Traços em : elipses se
, ponto se
, vazio caso contrário.
Traços em e
: sempre hiperbolas.
O esboço mostra duas folhas centradas em , com pontos de “gargalo” em
e
.
Traços em
Traços em
O esboço mostra duas folhas centradas em