Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
4 x^{2}-9 y^{2}-6 z^{2}-16 x+18 y+36 z-83=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla de segunda ordem
4x^{2}-9y^{2}-6z^{2}-16x+18y+36z-83=0,
e pede (i) a forma reduzida (canônica), (ii) seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e (iii) um esboço do gráfico. Vamos usar completamento de quadrados e classificação de quádricas em coordenadas deslocadas.

Passo 2

Agrupamos termos por variável e completamos quadrados:
– Em x:
4x^{2}-16x = 4\bigl(x^{2}-4x\bigr) =4\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) =4(x-2)^{2}-16.
– Em y:
-9y^{2}+18y = -9\bigl(y^{2}-2y\bigr) =-9\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) =-9(y-1)^{2}+9.
– Em z:
-6z^{2}+36z = -6\bigl(z^{2}-6z\bigr) =-6\bigl((z-3)^{2}-9\bigr) =-6(z-3)^{2}+54.
Substituindo na equação original:
\bigl[4(x-2)^{2}-16\bigr]+\bigl[-9(y-1)^{2}+9\bigr]+\bigl[-6(z-3)^{2}+54\bigr]-83=0.
Somando as constantes: -16+9+54-83=-36. Logo
4(x-2)^{2}-9(y-1)^{2}-6(z-3)^{2}-36=0.

Passo 3

Isolando o termo constante e dividindo por 36, obtemos a forma reduzida:
4(x-2)^{2}-9(y-1)^{2}-6(z-3)^{2}=36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{9} -\frac{(y-1)^{2}}{4} -\frac{(z-3)^{2}}{6} =1.
Esta é a forma canônica.

Passo 4

Como há um coeficiente positivo e dois negativos, trata-se de um hiperbolóide de duas folhas com eixo principal paralelo ao eixo Ox e centro em (2,1,3). A superfície só existe quando o termo positivo supera a soma dos termos negativos.

Passo 5

Traços por planos paralelos:
  1. Plano x=k. Substituindo na forma reduzida:
    \frac{(k-2)^{2}}{9} -\frac{(y-1)^{2}}{4} -\frac{(z-3)^{2}}{6} =1 \;\Longrightarrow\; \frac{(y-1)^{2}}{4}+\frac{(z-3)^{2}}{6} =\frac{(k-2)^{2}}{9}-1.
    – Se \frac{(k-2)^{2}}{9}>1, há elipses.
    – Se \frac{(k-2)^{2}}{9}=1, reduz-se a um ponto (y,z)=(1,3) (caso k=2\pm3).
    – Se \frac{(k-2)^{2}}{9}<1, não há traço real.
  2. Plano y=k.
    \frac{(x-2)^{2}}{9} -\frac{(z-3)^{2}}{6} =1+\frac{(k-1)^{2}}{4}>1,
    sempre hiperbolas, para todo k.
  3. Plano z=k.
    \frac{(x-2)^{2}}{9} -\frac{(y-1)^{2}}{4} =1+\frac{(k-3)^{2}}{6}>1,
    também hiperbolas para todo k.

Passo 6

Esboço: são duas “folhas” simétricas em relação ao plano x=2.
– A folha à direita inicia em x=5 como um ponto único (5,1,3) e cresce em elipses conforme x>5.
– A folha à esquerda inicia em x=-1 como ponto único (-1,1,3) e cresce em elipses conforme x<-1.
– No plano y=1 e no plano z=3 vemos, respectivamente, as hiperbolas canônicas
\,(x-2)^{2}/9 - (z-3)^{2}/6 =1 e (x-2)^{2}/9 - (y-1)^{2}/4 =1.

Resposta

A forma reduzida é
\frac{(x-2)^{2}}{9} -\frac{(y-1)^{2}}{4} -\frac{(z-3)^{2}}{6} =1,
que é um hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo a Ox.
Traços em x=k: elipses se \frac{(k-2)^{2}}{9}>1, ponto se \frac{(k-2)^{2}}{9}=1, vazio caso contrário.
Traços em y=k e z=k: sempre hiperbolas.
O esboço mostra duas folhas centradas em (2,1,3), com pontos de “gargalo” em x=5 e x=-1.

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