Questão 8. Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s, nos casos a seguir:
r:(x, y, z)=(-1,2,1)+h(1,2,-1), h \in \mathbb{R}, s:\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\\ y=3 \\\ z=1+4 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contenha simultaneamente as retas
r: (x,y,z)=(-1,2,1)+h\,(1,2,-1) e
s: \begin{cases} x=2t,\\\ y=3,\\\ z=1+4t \end{cases}
Devemos usar geometria vetorial: extrair vetores diretores e pontos, verificar se as retas são paralelas ou se se intersectam (caso contrário são reversas, sem plano comum).

Passo 2

Extraímos de r e s:
– Um ponto em r é \,A=(-1,2,1) e seu vetor diretor é \mathbf{v}_{r}=(1,2,-1).
– Um ponto em s é \,B=(0,3,1) (para t=0) e seu vetor diretor é \mathbf{v}_{s}=(2,0,4).

Passo 3

Verificamos se \mathbf{v}_{r} e \mathbf{v}_{s} são colineares (paralelismo):
\frac{2}{1}=2,\quad \frac{0}{2}=0,\quad \frac{4}{-1}=-4,
como essas razões são distintas, não há paralelismo. Logo, ou as retas se intersectam ou são reversas (skew).

Passo 4

Procuramos interseção: igualamos as coordenadas de r e s. Da componente y:
2+2h=3\;\Longrightarrow\;h=0,5.
Para esse h, em r temos x=-1+0,5=-0,5 e z=1-0,5=0,5.
Em s, para ter x=-0,5 precisamos 2t=-0,5\Rightarrow t=-0,25, o que dá z=1+4(-0,25)=0.
Como 0,5\neq0, não há solução comum: as retas não se intersectam.

Passo 5

Concluímos que r e s não são paralelas nem se intersectam, portanto são reversas (skew) e não existe nenhum plano que as contenha simultaneamente.

Resposta

Não existe equação de plano que contenha as duas retas dadas, pois elas são reversas (skew).

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