Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
9 x^{2}+4 y^{2}+6 z^{2}-18 x-16 y-36 z+43=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segundo grau
9x^{2}+4y^{2}+6z^{2}-18x-16y-36z+43=0
O conteúdo é classificação e redução de superfícies quádricas por “completar quadrados”. Vamos achar a forma reduzida (ou equação canônica) e depois seus traços em planos paralelos aos planos coordenados.

Passo 2

Agrupamos os termos de x, y e z e completamos quadrados:
9(x^{2}-2x)+4(y^{2}-4y)+6(z^{2}-6z)+43=0.
Em cada grupo:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,\quad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4,\quad z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9.
Logo,
9\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+4\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)+6\bigl((z-3)^{2}-9\bigr)+43=0.

Passo 3

Distributando e somando constantes:
9(x-1)^{2}-9+4(y-2)^{2}-16+6(z-3)^{2}-54+43=0
9(x-1)^{2}+4(y-2)^{2}+6(z-3)^{2}-36=0
9(x-1)^{2}+4(y-2)^{2}+6(z-3)^{2}=36
Dividindo por 36, obtemos a forma reduzida
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}+\frac{(z-3)^{2}}{6}=1.

Passo 4

Essa é a equação de um elipsoide centrado em (1,2,3) com semi-eixos
a=2,\quad b=3,\quad c=\sqrt{6}
ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Traços em planos paralelos aos planos coordenados:
  • Plano paralelo a xy-plano (isto é, z=k):
    \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1-\frac{(k-3)^{2}}{6},
    que é elipse quando \bigl|k-3\bigr|\le\sqrt{6}.
  • Plano paralelo a xz-plano (isto é, y=k):
    \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(z-3)^{2}}{6}=1-\frac{(k-2)^{2}}{9},
    elipse para \bigl|k-2\bigr|\le3.
  • Plano paralelo a yz-plano (isto é, x=k):
    \frac{(y-2)^{2}}{9}+\frac{(z-3)^{2}}{6}=1-\frac{(k-1)^{2}}{4},
    elipse para \bigl|k-1\bigr|\le2.

Passo 6

Esboço: é um elipsoide centrado em (1,2,3), alongado nos eixos x (comprimento total 4), y (total 6) e z (total 2\sqrt{6}). No plano z=3 aparece a maior secção elíptica de eixos 2 e 3; para z distinto de 3 as elipses vão se reduzir até desaparecer quando \lvert z-3\rvert=\sqrt{6}.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}+\frac{(z-3)^{2}}{6}=1.
Traços em z=k:
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1-\frac{(k-3)^{2}}{6}.
Traços em y=k:
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(z-3)^{2}}{6}=1-\frac{(k-2)^{2}}{9}.
Traços em x=k:
\frac{(y-2)^{2}}{9}+\frac{(z-3)^{2}}{6}=1-\frac{(k-1)^{2}}{4}.
Esboço: elipsoide de centro (1,2,3) e semi-eixos 2,3,\sqrt{6}.

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