Determine uma equação para a reta que contém o ponto A=(-1,0,0), intersecta o eixo z e é paralela ao plano pi: x-3 y+5 z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede uma reta que:
  1. Contenha o ponto A=(-1,0,0).
  2. Interseque o eixo z.
  3. Seja paralela ao plano pi: x - 3y + 5z -1 = 0.
Para uma reta ser paralela a um plano, seu vetor diretor deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

O vetor normal de pi é
n = (1,,-3,,5)
Se a reta intersecciona o eixo z, existe um ponto B na reta da forma
B = (0,0,z0)
Então o vetor diretor da reta é
v = AB = B - A = l(0 - (-1),,0-0,,z0 - 0r) = (1,,0,,z0)

Passo 3

Para ser paralela ao plano, v deve satisfazer
n cdot v = 0 ;Longrightarrow; (1,,-3,,5)cdot(1,,0,,z0)=1 + 5,z0 = 0
Daí
1 + 5,z0 = 0 Longrightarrow z0 = -15

Passo 4

Logo o ponto de interseção com o eixo z é
B = l(0,,0,,-tfrac15r)
e o vetor diretor da reta pode ser escolhido como
v = AB = l(1,,0,,-tfrac15r)
Para simplificar, multiplicamos por 5 e tomamos
v' = (5,,0,,-1)

Passo 5

A equação vetorial da reta fica
r(t) = (-1,0,0) + t,(5,0,-1), tinR
Em coordenadas paramétricas:
x = -1 + 5t, y = 0, z = -,t

Resposta

Uma equação para a reta é
r(t) = (-1,0,0) + t,(5,0,-1), tinR,
ou, em forma paramétrica,
x = -1 + 5t, y = 0, z = -t

Exercícios relacionados