Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando . Isso envolve limite em . Para verificar se existe, vamos primeiro comparar com uma expressão mais simples usando a expansão de perto de e depois testar diferentes trajetórias de aproximação.
Passo 2
Perto de vale a expansão de Taylor
ou seja,
onde quando . Assim o numerador fica
Passo 3
Substituindo em obtemos
Como , temos
Logo o comportamento assintótico de f(x,y) é o mesmo de
g(x,y)=2x^22x^2+y^2
Passo 4
Se o limite de f existisse, ele teria de coincidir com o de g. Mas em g podemos escolher caminhos distintos para (x,y)to(0,0):