Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+sen^2(x)2 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando . Isso envolve limite em . Para verificar se existe, vamos primeiro comparar com uma expressão mais simples usando a expansão de perto de e depois testar diferentes trajetórias de aproximação.

Passo 2

Perto de x=0 vale a expansão de Taylor
sen(x)=x+o(x),
ou seja,
sen^2(x)=l(x+o(x)r)^2=x^2+o(x^2),
onde o(x^2)/x^2to0 quando xto0. Assim o numerador fica
x^2+sen^2(x)=x^2+l(x^2+o(x^2)r) =2x^2+o(x^2)

Passo 3

Substituindo em f(x,y) obtemos
f(x,y) =2x^2+o(x^2)2x^2+y^2 =2x^22x^2+y^2 +o(x^2)2x^2+y^2
Como 2x^2+y^2>=2x^2, temos
|o(x^2)2x^2+y^2| <=|o(x^2)|2x^2 ;=;|o(x^2)|x^2cdot12 ;longrightarrow;0
Logo o comportamento assintótico de f(x,y) é o mesmo de
g(x,y)=2x^22x^2+y^2

Passo 4

Se o limite de f existisse, ele teria de coincidir com o de g. Mas em g podemos escolher caminhos distintos para (x,y)to(0,0):
  1. Pela reta y=0:
g(x,0)=2x^22x^2+0=1 Longrightarrow limxto0g(x,0)=1
  1. Pela reta y=x:
g(x,x)=2x^22x^2+x^2 =23 Longrightarrow limxto0g(x,x)=23
Como 1neqtfrac23, os limites ao longo de trajetórias diferentes não coincidem.

Resposta

O limite não existe.

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