Determine a equação da reta, dado o coeficiente angular (ou declividade) m, que passa pelo ponto ( x_{1} ; y_{1} ), trace o gráfico, determine o domínio e a imagem:
m=-\frac{2}{5} ;\left(x_{1} ; y_{1}\right)=(2 ;-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta de declividade \,m=-\tfrac{2}{5}\, que passa pelo ponto \,(x_{1},y_{1})=(2,-1). Para isso vamos usar a forma ponto-declive da reta, depois converter para a forma y=mx+b, traçar o gráfico escolhendo alguns pontos e, por fim, identificar o domínio e a imagem.

Passo 2

Usamos a forma ponto-declive:
y - y_{1} = m\,(x - x_{1})
Substituindo \,m=-\tfrac{2}{5}, \,x_{1}=2 e \,y_{1}=-1, obtemos
y - (-1) = -\tfrac{2}{5}\bigl(x - 2\bigr)
ou seja
y + 1 = -\tfrac{2}{5}\,x + \tfrac{4}{5}.

Passo 3

Isolando y, vem
y = -\tfrac{2}{5}\,x + \tfrac{4}{5} \;-\; 1
y = -\tfrac{2}{5}\,x \;+\; \tfrac{4}{5} \;-\; \tfrac{5}{5}
y = -\tfrac{2}{5}\,x \;-\; \tfrac{1}{5}.

Passo 4

Para traçar o gráfico, escolhemos três pontos fáceis:
  • No ponto dado, \,(x,y)=(2,-1).
  • Se x=7, então
y = -\tfrac{2}{5}\cdot 7 \;-\; \tfrac{1}{5} = -\tfrac{14}{5} - \tfrac{1}{5} = -3,
gerando o ponto (7,-3).
  • Se x=-3, então
y = -\tfrac{2}{5}\cdot (-3) \;-\; \tfrac{1}{5} = \tfrac{6}{5} - \tfrac{1}{5} = 1,
gerando o ponto (-3,1).
Ligando esses pontos no plano cartesiano, obtemos uma reta decrescente conforme m<0.

Passo 5

Como toda reta inclinada não vertical está definida para qualquer x\in\mathbb{R} e atinge qualquer valor real de y, temos
\text{Domínio} = \mathbb{R}, \qquad \text{Imagem} = \mathbb{R}.í

Resposta

A equação da reta é
y = -\tfrac{2}{5}\,x \;-\; \tfrac{1}{5}.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: \mathbb{R}.

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