Use o teorema de Gauss (Divergência)
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de F através de S:
F(x, y, z)=5 x y^{2} \vec{i}+x e^{2} \vec{j}+z^{3} \vec{k}, S éa superficie do sólido delimitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1 e pelos planos x=-2 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=5xy^{2}\,\mathbf{i}+x e^{2}\,\mathbf{j}+z^{3}\,\mathbf{k} através da superfície fechada S que envolve o sólido V limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1 e pelos planos x=-2 e x=3.
O conteúdo é o Teorema de Gauss (ou da Divergência), que nos permite transformar um fluxo de superfície num integral de volume:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\;dV.

Passo 2

Precisamos primeiro calcular o divergente de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(5x y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(x e^{2}) + \frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) = 5y^{2}+0+3z^{2} = 5y^{2}+3z^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss, o fluxo vale
\Phi = \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}(5y^{2}+3z^{2})\,dV.
Como a região V é o cilindro y^{2}+z^{2}\le1 para -2\le x\le3, podemos separar a integral em x e na seção transversal D no plano yz:
\Phi = \int_{x=-2}^{3}\!\!\int\!\!\!\!\int_{D}(5y^{2}+3z^{2})\,dA\,dx.

Passo 4

A integral em x é trivial, pois a integrando não depende de x:
\int_{-2}^{3}dx = 3 - (-2) = 5.
Logo
\Phi = 5\;\iint_{D}(5y^{2}+3z^{2})\,dA.

Passo 5

Na seção D\colon y^{2}+z^{2}\le1 usamos coordenadas polares (y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta). Então
dA = r\,dr\,d\theta, \quad 5y^{2}+3z^{2} = r^{2}\bigl(5\cos^{2}\theta +3\sin^{2}\theta\bigr),
e a integral torna-se
\iint_{D}(5y^{2}+3z^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r^{2}\bigl(5\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\bigl(5\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta\bigr)d\theta \;\int_{0}^{1}r^{3}dr.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{2\pi}\bigl(5\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta\bigr)d\theta =5\pi+3\pi=8\pi,
\int_{0}^{1}r^{3}dr = \frac{1}{4}.
Logo
\iint_{D}(5y^{2}+3z^{2})\,dA = 8\pi\cdot\frac{1}{4} = 2\pi.

Passo 6

Voltando ao fluxo, temos
\Phi = 5 \times 2\pi = 10\pi.

Resposta

10\pi

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