Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 2) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos (0, 0) e (2, -2).
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta que passa pelos pontos
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A reta 1 passa por
e . - Queremos a reta 2 que passa por
e é perpendicular à reta 1.
Passo 2
Entender o que é “inclinação” (ou declive) de uma reta e como calculá-la entre dois pontos. A fórmula da inclinação
de uma reta que passa por
e
é
Aqui,
representam as coordenadas dos dois pontos:
e
são as coordenadas do primeiro ponto,
e
as do segundo. A ideia é “quanto sobe” dividido por “quanto anda para a direita”.\n
Aplicando aos pontos da reta 1, e
:
Aplicando aos pontos da reta 1,
Portanto a inclinação da reta 1 é
.
Passo 3
Regra importante para retas perpendiculares: se duas retas são perpendiculares, os produtos de suas inclinações é
. Em símbolos, se
é a inclinação da primeira e
a da perpendicular, então
Dessa igualdade isolamos
:
Substituindo
,
Portanto a reta que buscamos tem inclinação
.
Passo 4
Agora usamos a forma ponto-inclinação (point-slope) da equação de reta. A fórmula é
onde
é um ponto conhecido da reta e
é a inclinação. Aqui temos
e
. Substituindo,
Expandindo e isolando
:
Passo 5
Cheque rápido para garantir que está tudo certo: a nova reta tem inclinação
. Um vetor diretor da reta 1 é
(vai de
a
). Um vetor diretor da reta achada é, por exemplo,
. O produto interno é
o que confirma que os vetores são perpendiculares, logo as retas são perpendiculares. Além disso
satisfaz
porque
. Tudo confere.