Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 2) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos (0, 0) e (2, -2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (-2,2) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos (0,0) e (2,-2).\n
Informações dadas:
  • A reta 1 passa por (0,0) e (2,-2).
  • Queremos a reta 2 que passa por (-2,2) e é perpendicular à reta 1.

Passo 2

Entender o que é “inclinação” (ou declive) de uma reta e como calculá-la entre dois pontos. A fórmula da inclinação m de uma reta que passa por (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui, x_1,y_1,x_2,y_2 representam as coordenadas dos dois pontos: x_1 e y_1 são as coordenadas do primeiro ponto, x_2 e y_2 as do segundo. A ideia é “quanto sobe” dividido por “quanto anda para a direita”.\n
Aplicando aos pontos da reta 1, (x_1,y_1)=(0,0) e (x_2,y_2)=(2,-2):
m_1=\frac{-2-0}{2-0}=\frac{-2}{2}=-1.
Portanto a inclinação da reta 1 é -1.

Passo 3

Regra importante para retas perpendiculares: se duas retas são perpendiculares, os produtos de suas inclinações é -1. Em símbolos, se m_1 é a inclinação da primeira e m_2 a da perpendicular, então
m_1\cdot m_2=-1.
Dessa igualdade isolamos m_2:
m_2=\frac{-1}{m_1}.
Substituindo m_1=-1,
m_2=\frac{-1}{-1}=1.
Portanto a reta que buscamos tem inclinação m_2=1.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-inclinação (point-slope) da equação de reta. A fórmula é
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido da reta e m é a inclinação. Aqui temos (x_0,y_0)=(-2,2) e m=1. Substituindo,
y-2=1\bigl(x-(-2)\bigr)=1(x+2).
Expandindo e isolando y:
y-2=x+2\quad\Rightarrow\quad y=x+4.

Passo 5

Cheque rápido para garantir que está tudo certo: a nova reta tem inclinação 1. Um vetor diretor da reta 1 é (2,-2) (vai de (0,0) a (2,-2)). Um vetor diretor da reta achada é, por exemplo, (1,1). O produto interno é
(2,-2)\cdot(1,1)=2\cdot1+(-2)\cdot1=2-2=0,
o que confirma que os vetores são perpendiculares, logo as retas são perpendiculares. Além disso (-2,2) satisfaz \;y=x+4 porque 2=(-2)+4. Tudo confere.

Resposta

y=x+4

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