(2,0) Sejam X \subset \mathbb{R}, onde X^{\prime} o conjunto dos pontos de acumulação de X, f: X \longrightarrow \mathbb{R}, com a \in X^{\prime}, e L \in \mathbb{R}. Prove que: \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L se, e somente se, para toda sequência \left(x_{n}\right) \subset X \backslash\{a\} com \lim x_{n}=a tem-se \lim f\left(x_{n}\right)=L.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • X \subset \mathbb{R}.
    • X^{\prime} é o conjunto dos pontos de acumulação de X.
    • f: X \longrightarrow \mathbb{R}.
    • a \in X^{\prime} (ou seja, a é ponto de acumulação de X).
    • L \in \mathbb{R}.
  • O enunciado pede para provar a equivalência:
    • \lim_{x \to a} f(x)=L se, e somente se, para toda sequência \left(x_{n}\right) \subset X \backslash\{a\} com \lim x_{n}=a tem-se \lim f\left(x_{n}\right)=L.
Ou seja, devo provar duas coisas:
  1. Se \lim_{x\to a} f(x)=L então toda sequência \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} que converge a a satisfaz \lim f(x_n)=L.
  2. Se toda sequência \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} com \lim x_n=a satisfaz \lim f(x_n)=L, então \lim_{x\to a} f(x)=L.

Passo 2

Vou recordar as definições e explicar com calma — isso serve como “fórmula” que vou usar em cada implicação.
  • Definição de limite (ε–δ): \lim_{x\to a} f(x)=L significa:
    • Para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, tem-se |f(x)-L|<\varepsilon.
    • Aqui a condição 0<|x-a| garante que consideramos pontos diferentes de a (quando a pertence a X ou não).
  • Definição sequencial de convergência: Uma sequência \left(x_n\right) converge a a (escreve-se \lim x_n=a) se:
    • Para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |x_n-a|<\varepsilon.
  • Definição de ponto de acumulação: a\in X^{\prime} significa que toda vizinhança de a contém algum ponto de X diferente de a. Equivalentemente, existe uma sequência \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} com \lim x_n=a. (Essa última equivalência é útil e justificável; usamos que a é ponto de acumulação para garantir que existem sequências em X\setminus\{a\} aproximando a.)
Agora que as definições estão claras, vou provar cada direção usando essas ideias.

Passo 3

Prova da direção “limite ε–δ implica limite para todas as sequências”.
Seja dada a hipótese \lim_{x\to a} f(x)=L. Quero mostrar: para qualquer sequência \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} com \lim x_n=a, tem-se \lim f(x_n)=L.
Prova passo a passo (método direto usando ε–δ):
  • Tome um \varepsilon>0 arbitrário.
  • Pela hipótese de limite, existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, obtém-se |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Agora considere qualquer sequência \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} com \lim x_n=a. Pela definição sequencial de convergência, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, temos |x_n-a|<\delta.
  • Para esses n\ge N temos x_n\in X e 0<|x_n-a|<\delta, então pela escolha de \delta segue |f(x_n)-L|<\varepsilon.
  • Assim, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |f(x_n)-L|<\varepsilon. Isso é exatamente \lim f(x_n)=L.
Comentário didático curto: a ideia é direta — o ε–δ dá uma “zona” em torno de a onde f(x) fica dentro de ε de L. Se a sequência entra nessa zona a partir de algum índice, então as imagens entram na zona de L.

Passo 4

Prova da direção “convergência de f(x_n) para toda sequência que converge a a implica limite ε–δ”.
Agora suponha que toda sequência \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} com \lim x_n=a satisfaz \lim f(x_n)=L. Quero provar \lim_{x\to a} f(x)=L.
A estratégia usual é prova por contradição: assumir que o limite ε–δ não existe e construir uma sequência contraditória.
Passos detalhados:
  • Negação da definição de limite: dizer que \lim_{x\to a} f(x)\ne L significa que existe algum \varepsilon_0>0 tal que, para todo \delta>0, existe x\in X com 0<|x-a|<\delta e |f(x)-L|\ge\varepsilon_0.
    • Explicando: se não existe δ que funcione para esse ε0, então em qualquer vizinhança de a há um ponto de X (diferente de a) cuja imagem por f fica a pelo menos \varepsilon_0 de L.
  • Usando essa propriedade, constrói-se uma sequência \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} aproximando a e com |f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0 para todo n:
    • Para cada n\in\mathbb{N} aplique a propriedade com \delta=\tfrac{1}{n}. Então existe x_n\in X tal que 0<|x_n-a|<\tfrac{1}{n} e |f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0.
    • Assim \left(x_n\right)\subset X\setminus\{a\} e |x_n-a|<\tfrac{1}{n} para todo n, logo \lim x_n=a.
  • Pela hipótese inicial (convergência sequencial para todas as sequências), deveríamos ter \lim f(x_n)=L. Mas observamos que para todo n vale |f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0. Isso impede \lim f(x_n)=L (porque para a mesma \varepsilon_0 não existe N que torne |f(x_n)-L|<\varepsilon_0 para todo n\ge N).
  • Temos, então, uma contradição: a construção garante que \left(x_n\right) converge a a mas \left(f(x_n)\right) não converge a L, contrariando a hipótese. Logo a suposição de que o limite ε–δ não existe é falsa.
  • Conclui-se que \lim_{x\to a} f(x)=L.
Comentário didático curto: a construção x_n com 0<|x_n-a|<1/n é um truque padrão — pega pontos cada vez mais perto de a (garantidos pelo fato de a ser ponto de acumulação), e força as imagens a ficar sempre fora da bola de raio \varepsilon_0 em torno de L. Isso contradiz a hipótese sequencial.

Passo 5

Dicas para prova em prova escrita e observações práticas (estilo amigo e motivador):
  • Na prova da primeira direção (ε–δ ⇒ sequencial) pense: “o ε–δ define uma pequena faixa em x que obriga f(x) a ficar perto de L. Sequências que entram nessa faixa acabam obedecendo a mesma proximidade.”
  • Na prova da segunda direção, o truque de tomar \delta=\tfrac{1}{n} e produzir x_n é clássico. Memoriza esse padrão: “negação do ε–δ” → “construo uma sequência contraditória”.
  • Lembrete importante: o fato a\in X^{\prime} garante que é possível escolher x_n\in X\setminus\{a\} com |x_n-a|<1/n. Sem isso, a segunda parte pode falhar porque poderia não haver pontos distintos de a arbitrariamente próximos.
  • Exemplo rápido para fixar: se f(x)=\sin(1/x) em X=(0,1) e a=0 (ponto de acumulação), então não existe \lim_{x\to 0} f(x). Pela contrapositive da equivalência, existe uma sequência x_n\to 0 tal que f(x_n) não converge — por exemplo x_n=\tfrac{2}{(4n+1)\pi} e x_n'=\tfrac{2}{(4n+3)\pi} mostram comportamentos diferentes, etc. Isso ajuda a entender o sentido da equivalência.

Passo 6

Resumo final do argumento (muito curto):
  • Mostrou-se que ε–δ ⇒ convergência de f(x_n) para toda sequência x_n\to a.
  • E mostrou-se que se todas as sequências x_n\to a têm f(x_n)\to L, então a definição ε–δ da convergência de f em a vale.
  • Portanto as duas condições são equivalentes.

Resposta

A afirmação é verdadeira: \lim_{x\to a} f(x)=L se, e somente se, para toda sequência \left(x_{n}\right)\subset X\setminus\{a\} com \lim x_{n}=a tem-se \lim f\left(x_{n}\right)=L.

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