Sejam
, onde
o conjunto dos pontos de acumulação de
, com
, e
. Prove que:
se, e somente se, para toda sequência
com
tem-se
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
-
. -
é o conjunto dos pontos de acumulação de . -
. -
(ou seja, é ponto de acumulação de ). -
.
-
-
O enunciado pede para provar a equivalência:
-
se, e somente se, para toda sequência com tem-se .
-
Ou seja, devo provar duas coisas:
- Se
então toda sequência que converge a satisfaz . - Se toda sequência
com satisfaz , então .
Passo 2
Vou recordar as definições e explicar com calma — isso serve como “fórmula” que vou usar em cada implicação.
-
Definição de limite (ε–δ):
significa: - Para todo
existe tal que, para todo com , tem-se . - Aqui a condição
garante que consideramos pontos diferentes de (quando pertence a ou não).
- Para todo
-
Definição sequencial de convergência: Uma sequência
converge a (escreve-se ) se: - Para todo
existe tal que, para todo , .
- Para todo
-
Definição de ponto de acumulação:
significa que toda vizinhança de contém algum ponto de diferente de . Equivalentemente, existe uma sequência com . (Essa última equivalência é útil e justificável; usamos que é ponto de acumulação para garantir que existem sequências em aproximando .)
Agora que as definições estão claras, vou provar cada direção usando essas ideias.
Passo 3
Prova da direção “limite ε–δ implica limite para todas as sequências”.
Seja dada a hipótese
. Quero mostrar: para qualquer sequência
com
, tem-se
.
Prova passo a passo (método direto usando ε–δ):
- Tome um
arbitrário. - Pela hipótese de limite, existe
tal que, para todo com , obtém-se . - Agora considere qualquer sequência
com . Pela definição sequencial de convergência, existe tal que, para todo , temos . - Para esses
temos e , então pela escolha de segue . - Assim, para todo
existe tal que, para todo , . Isso é exatamente .
Comentário didático curto: a ideia é direta — o ε–δ dá uma “zona” em torno de
onde
fica dentro de ε de
. Se a sequência entra nessa zona a partir de algum índice, então as imagens entram na zona de
.
Passo 4
Prova da direção “convergência de
para toda sequência que converge a
implica limite ε–δ”.
Agora suponha que toda sequência
com
satisfaz
. Quero provar
.
A estratégia usual é prova por contradição: assumir que o limite ε–δ não existe e construir uma sequência contraditória.
Passos detalhados:
- Negação da definição de limite: dizer que
significa que existe algum tal que, para todo , existe com e . - Explicando: se não existe δ que funcione para esse ε0, então em qualquer vizinhança de
há um ponto de (diferente de ) cuja imagem por fica a pelo menos de .
- Explicando: se não existe δ que funcione para esse ε0, então em qualquer vizinhança de
- Usando essa propriedade, constrói-se uma sequência
aproximando e com para todo : - Para cada
aplique a propriedade com . Então existe tal que e . - Assim
e para todo , logo .
- Para cada
- Pela hipótese inicial (convergência sequencial para todas as sequências), deveríamos ter
. Mas observamos que para todo vale . Isso impede (porque para a mesma não existe que torne para todo ). - Temos, então, uma contradição: a construção garante que
converge a mas não converge a , contrariando a hipótese. Logo a suposição de que o limite ε–δ não existe é falsa. - Conclui-se que
.
Comentário didático curto: a construção
com
é um truque padrão — pega pontos cada vez mais perto de
(garantidos pelo fato de
ser ponto de acumulação), e força as imagens a ficar sempre fora da bola de raio
em torno de
. Isso contradiz a hipótese sequencial.
Passo 5
Dicas para prova em prova escrita e observações práticas (estilo amigo e motivador):
- Na prova da primeira direção (ε–δ ⇒ sequencial) pense: “o ε–δ define uma pequena faixa em
que obriga a ficar perto de . Sequências que entram nessa faixa acabam obedecendo a mesma proximidade.” - Na prova da segunda direção, o truque de tomar
e produzir é clássico. Memoriza esse padrão: “negação do ε–δ” → “construo uma sequência contraditória”. - Lembrete importante: o fato
garante que é possível escolher com . Sem isso, a segunda parte pode falhar porque poderia não haver pontos distintos de arbitrariamente próximos. - Exemplo rápido para fixar: se
em e (ponto de acumulação), então não existe . Pela contrapositive da equivalência, existe uma sequência tal que não converge — por exemplo e mostram comportamentos diferentes, etc. Isso ajuda a entender o sentido da equivalência.
Passo 6
Resumo final do argumento (muito curto):
- Mostrou-se que ε–δ ⇒ convergência de
para toda sequência . - E mostrou-se que se todas as sequências
têm , então a definição ε–δ da convergência de em vale. - Portanto as duas condições são equivalentes.
Resposta
A afirmação é verdadeira:
se, e somente se, para toda sequência
com
tem-se
.