Determine a equação da reta normal à curva y=\operatorname{cosh} x no ponto de abscissa x=\ln 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\operatorname{cosh} x e pede a equação da reta normal à curva no ponto cuja abscissa é x=\ln 2.
Informações dadas:
  • Equação da curva: y=\operatorname{cosh} x.
  • Abscissa do ponto: x_0=\ln 2.
O que é pedido:
  • A equação da reta normal à curva no ponto de abscissa x_0=\ln 2.

Passo 2

Primeiro precisamos do ponto da curva correspondente a x_0=\ln 2, isto é, calcular y_0=\operatorname{cosh}(\ln 2).
Mini-aula sobre \operatorname{cosh} (muito útil aqui):
  • A função hiperbólica cosseno é definida por
\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
  • Isso significa que, para avaliar \operatorname{cosh} em qualquer ponto, basta usar exponenciais e aplicar essa fórmula.
Agora calculo:
e^{\ln 2}=2,\qquad e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}.
Logo
\operatorname{cosh}(\ln 2)=\frac{2+\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{\tfrac{5}{2}}{2}=\frac{5}{4}.
Portanto o ponto na curva é \bigl(\ln 2,\tfrac{5}{4}\bigr).

Passo 3

Precisamos da inclinação da reta tangente no ponto, porque a reta normal tem inclinação perpendicular a ela.
Mini-aula sobre derivada de \operatorname{cosh}:
  • Usando a definição por exponenciais,
\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
derivando termo a termo obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\operatorname{sinh} x.
  • Ou seja, a derivada de \operatorname{cosh} x é \operatorname{sinh} x, onde
\operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Agora avalio a derivada no ponto x_0=\ln 2:
y'(x)=\operatorname{sinh} x,\qquad y'(\ln 2)=\operatorname{sinh}(\ln 2)=\frac{e^{\ln 2}-e^{-\ln 2}}{2}=\frac{2-\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{\tfrac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}.
Logo a inclinação da tangente é m_{\text{t}}=\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Relação entre inclinações de retas perpendiculares (mini-aula):
  • Se duas retas são perpendiculares (ou seja, uma é normal à outra), os produtos de suas inclinações é -1.
  • Portanto, se m_{\text{t}} é a inclinação da tangente, a inclinação da normal é
m_{\text{n}}=-\frac{1}{m_{\text{t}}}.
Aplicando ao nosso caso:
m_{\text{n}}=-\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=-\frac{4}{3}.

Passo 5

Agora montamos a equação da reta normal passando pelo ponto \bigl(x_0,y_0\bigr)=\bigl(\ln 2,\tfrac{5}{4}\bigr) com inclinação m_{\text{n}}=-\tfrac{4}{3}.
Forma ponto-inclinação (fórmula e explicação):
  • A equação ponto-inclinação de uma reta que passa por \bigl(x_0,y_0\bigr) e tem inclinação m é
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo os valores:
y-\frac{5}{4}=-\frac{4}{3}\bigl(x-\ln 2\bigr).
Se quiser passar para a forma y=mx+b, faço a álgebra:
y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\ln 2+\frac{5}{4}.
Convertendo a constante para um único coeficiente (opcional):
\frac{4}{3}\ln 2+\frac{5}{4}=\frac{16\ln 2+15}{12},
logo
y=-\frac{4}{3}x+\frac{16\ln 2+15}{12}.

Passo 6

Breve verificação (tranquiliza na prova):
  • Ao substituir x=\ln 2 em y-\tfrac{5}{4}=-\tfrac{4}{3}(x-\ln 2) obtém-se y=\tfrac{5}{4}, logo a reta passa pelo ponto dado.
  • A inclinação explícita da reta é -\tfrac{4}{3}, que é perpendicular à tangente de inclinação \tfrac{3}{4} (produto -1). Tudo consistente.

Resposta

y-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{4}{3}\bigl(x-\ln 2\bigr)
y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16\ln 2+15}{12}

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