Determine a equação da reta normal à curva
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede a equação da reta normal à curva no ponto cuja abscissa é
.
Informações dadas:
- Equação da curva:
. - Abscissa do ponto:
.
O que é pedido:
- A equação da reta normal à curva no ponto de abscissa
.
Passo 2
Primeiro precisamos do ponto da curva correspondente a
, isto é, calcular
.
Mini-aula sobre
(muito útil aqui):
- A função hiperbólica cosseno é definida por
- Isso significa que, para avaliar
em qualquer ponto, basta usar exponenciais e aplicar essa fórmula.
Agora calculo:
Logo
Portanto o ponto na curva é
.
Passo 3
Precisamos da inclinação da reta tangente no ponto, porque a reta normal tem inclinação perpendicular a ela.
Mini-aula sobre derivada de
:
- Usando a definição por exponenciais,
derivando termo a termo obtemos
- Ou seja, a derivada de
é , onde
Agora avalio a derivada no ponto
:
Logo a inclinação da tangente é
.
Passo 4
Relação entre inclinações de retas perpendiculares (mini-aula):
- Se duas retas são perpendiculares (ou seja, uma é normal à outra), os produtos de suas inclinações é
. - Portanto, se
é a inclinação da tangente, a inclinação da normal é
Aplicando ao nosso caso:
Passo 5
Agora montamos a equação da reta normal passando pelo ponto
com inclinação
.
Forma ponto-inclinação (fórmula e explicação):
- A equação ponto-inclinação de uma reta que passa por
e tem inclinação é
Substituindo os valores:
Se quiser passar para a forma
, faço a álgebra:
Convertendo a constante para um único coeficiente (opcional):
logo
Passo 6
Breve verificação (tranquiliza na prova):
- Ao substituir
em obtém-se , logo a reta passa pelo ponto dado. - A inclinação explícita da reta é
, que é perpendicular à tangente de inclinação (produto ). Tudo consistente.