Um farmacêutico comprou um material específico de dois diferentes fornecedores. Para comparar o nível de impurezas presentes nas compras feitas aos dois fornecedores, o farmacêutico mediu a porcentagem de impurezas presentes em cada um dos grupos, obtendo o que segue:
Fornecedor A: 1,8 2,5 1,5 1,2
Fornecedor B: 1,6 2,5 1,2 2,3
1,4
a) Qual das compras apresenta maior uniformidade nas impurezas? Justifique calculando o desvio padrão dos dados de cada um dos fornecedores. (utilize o desvio populacional)
b) Se calculássemos o coeficiente de variação de cada fornecedor, a fim de comparar a uniformidade deles, a resposta seria mesma do item anterior, ou haveria alguma alteração? Justifique com os cálculos adequados

Passo 1

O enunciado dá duas listas de porcentagens de impurezas medidas em compras de dois fornecedores e faz duas perguntas. Aqui está tudo que foi fornecido e o que é pedido:
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Fornecedor A: 1{,}8,\;2{,}5,\;1{,}5,\;1{,}2.
    • Fornecedor B: 1{,}6,\;2{,}5,\;1{,}2,\;2{,}3,\;1{,}4.
  • Perguntas:
    a) Qual compra apresenta maior uniformidade nas impurezas? Justificar calculando o desvio padrão dos dados de cada fornecedor (usar o desvio populacional).
    b) Se calcularmos o coeficiente de variação (CV) de cada fornecedor, a conclusão sobre qual é mais uniforme mudaria? Justificar com os cálculos.
Observação: só vou usar o desvio populacional, que divide pela quantidade total n (não pelo n-1). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar e aplicar a definição de média (valor esperado simples) e calcular a média de cada fornecedor.
  • Definição: a média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde \bar{x} representa o valor médio. A média é o ponto de equilíbrio dos dados — um centro.
  • Cálculo para o Fornecedor A:
\bar{x}_A=\frac{1{,}8+2{,}5+1{,}5+1{,}2}{4}=\frac{7{,}0}{4}=1{,}75.
  • Cálculo para o Fornecedor B:
\bar{x}_B=\frac{1{,}6+2{,}5+1{,}2+2{,}3+1{,}4}{5}=\frac{9{,}0}{5}=1{,}80.

Passo 3

Agora vamos ao desvio padrão populacional. Primeiro explico a fórmula e a ideia: o desvio padrão populacional mede, em média, quanto cada observação se afasta da média. A fórmula da variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2,
e o desvio padrão populacional é
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Aqui n é o número total de observações, x_i são os valores observados e \bar{x} a média. Usamos a divisão por n porque estamos tratando os dados como a população inteira (conforme pediu o enunciado).
Vou calcular passo a passo os quadrados das diferenças para cada fornecedor.
Para o Fornecedor A ( n=4, \bar{x}_A=1{,}75):
  • Para x_1=1{,}8: x_1-\bar{x}_A=1{,}8-1{,}75=0{,}05. (x_1-\bar{x}_A)^2=0{,}05^2=0{,}0025.
  • Para x_2=2{,}5: 2{,}5-1{,}75=0{,}75. (\cdot)^2=0{,}5625.
  • Para x_3=1{,}5: 1{,}5-1{,}75=-0{,}25. (\cdot)^2=0{,}0625.
  • Para x_4=1{,}2: 1{,}2-1{,}75=-0{,}55. (\cdot)^2=0{,}3025.
Somando os quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_A)^2=0{,}0025+0{,}5625+0{,}0625+0{,}3025=0{,}93.
Para o Fornecedor B ( n=5, \bar{x}_B=1{,}80):
  • Para x_1=1{,}6: 1{,}6-1{,}80=-0{,}20. (\cdot)^2=0{,}04.
  • Para x_2=2{,}5: 2{,}5-1{,}80=0{,}70. (\cdot)^2=0{,}49.
  • Para x_3=1{,}2: 1{,}2-1{,}80=-0{,}60. (\cdot)^2=0{,}36.
  • Para x_4=2{,}3: 2{,}3-1{,}80=0{,}50. (\cdot)^2=0{,}25.
  • Para x_5=1{,}4: 1{,}4-1{,}80=-0{,}40. (\cdot)^2=0{,}16.
Somando os quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_B)^2=0{,}04+0{,}49+0{,}36+0{,}25+0{,}16=1{,}30.

Passo 4

Calcular a variância e o desvio padrão populacional para cada fornecedor usando os somatórios que obtivemos.
  • Fornecedor A:
\sigma_A^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}_A)^2=\frac{0{,}93}{4}=0{,}2325.
\sigma_A=\sqrt{0{,}2325}\approx 0{,}4822\\ (\text{aprox. }0{,}482).
  • Fornecedor B:
\sigma_B^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}_B)^2=\frac{1{,}30}{5}=0{,}26.
\sigma_B=\sqrt{0{,}26}\approx 0{,}5099\\ (\text{aprox. }0{,}510).
Interpretação prática: o desvio padrão nos dá a dispersão absoluta em pontos percentuais de impureza. Quanto menor \sigma, mais concentrados (uniformes) estão os valores.

Passo 5

Responder a pergunta (a) com base nos cálculos:
Comparando \sigma_A\approx 0{,}482 com \sigma_B\approx 0{,}510, o Fornecedor A tem desvio padrão um pouco menor. Portanto, pela medida de dispersão absoluta (desvio padrão populacional), a compra do Fornecedor A apresenta maior uniformidade nas impurezas.

Passo 6

Agora vamos ao coeficiente de variação (CV). Primeiro a definição e por que usamos: o CV é a razão entre o desvio padrão e a média,
\mathrm{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}.
Ele é adimensional e costuma ser expresso em porcentagem. O CV é útil para comparar variabilidade relativa quando as médias dos grupos são diferentes — ele normaliza a dispersão pelo nível médio.
Calculemos os CVs:
  • Fornecedor A:
\mathrm{CV}_A=\frac{\sigma_A}{\bar{x}_A}\approx\frac{0{,}4822}{1{,}75}\approx 0{,}2758\approx 27{,}6\%.
  • Fornecedor B:
\mathrm{CV}_B=\frac{\sigma_B}{\bar{x}_B}\approx\frac{0{,}5099}{1{,}80}\approx 0{,}2833\approx 28{,}3\%.

Passo 7

Responder a pergunta (b) e interpretar: os CVs mostram que \mathrm{CV}_A\approx 27{,}6\% e \mathrm{CV}_B\approx 28{,}3\%. O Fornecedor A continua tendo CV ligeiramente menor, ou seja, também pela variabilidade relativa o Fornecedor A é mais uniforme. Portanto a conclusão não muda: tanto pela dispersão absoluta ( \sigma) quanto pela dispersão relativa ( \mathrm{CV}), o Fornecedor A mostra maior uniformidade — a diferença é pequena em ambos os critérios.
Dica prática para prova: quando as médias forem parecidas (aqui 1{,}75 e 1{,}80 são próximas), tanto \sigma quanto \mathrm{CV} tendem a dar a mesma ordem entre os grupos; quando as médias forem bem diferentes, prefira comparar por \mathrm{CV} para não confundir dispersão alta só porque a média é grande.

Resposta

(a) Fornecedor A é mais uniforme; \sigma_A\approx 0{,}482 e \sigma_B\approx 0{,}510.
(b) Mesma conclusão com o coeficiente de variação; \mathrm{CV}_A\approx 27{,}6\% e \mathrm{CV}_B\approx 28{,}3\%.

Exercícios relacionados