Determine a equação da reta tangente à curva y={ }^{p} x, que seja paralela à reta 8 x \quad 4 y+1=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva \,y=p^x, que seja paralela à reta
8x + 4y + 1 = 0.
Para isso precisamos de (i) declive da reta dada, (ii) derivada de y=p^x para igualar ao mesmo declive, (iii) encontrar o ponto de tangência e (iv) escrever a equação da reta usando a forma ponto-declive.

Passo 2

A reta 8x + 4y + 1 = 0 pode ser escrita como
4y = -8x - 1 \quad\Longrightarrow\quad y = -2x - \tfrac14.
Logo o declive é m = -2.

Passo 3

A derivada de y = p^x é
\frac{dy}{dx} = p^x \ln p.
Para que a tangente seja paralela à reta dada, exigimos
p^{x_0}\,\ln p = -2.
Daí
p^{x_0} = -\frac{2}{\ln p} \quad\Longrightarrow\quad x_0 = \log_{p}\!\Bigl(-\tfrac{2}{\ln p}\Bigr).
(Observe que para existir solução precisamos ter -2/\ln p>0, ou seja 0<p<1.)

Passo 4

O ponto de tangência é
\bigl(x_0,\,y_0\bigr) = \Bigl(\log_{p}\!\bigl(-\tfrac{2}{\ln p}\bigr),\,-\tfrac{2}{\ln p}\Bigr).

Passo 5

Usando a forma ponto-declive, a reta tangente de declive -2 em \bigl(x_0,y_0\bigr) é
y - y_0 = -2\bigl(x - x_0\bigr),
ou seja
y + \frac{2}{\ln p} = -2\!\Bigl(x - \log_{p}\!\bigl(-\tfrac{2}{\ln p}\bigr)\Bigr).

Resposta

y + \frac{2}{\ln p} = -2\!\Bigl(x - \log_{p}\!\bigl(-\tfrac{2}{\ln p}\bigr)\Bigr).

Exercícios relacionados