Determine a equação para a reta normal à curva y=x^{2} no ponto
P(2,4).
Obs: duas retas t e n são perpendiculares se m_{t} . m_{n}=1, onde m_{t} e m_{n} são as inclinações das retas t e n, respectivamente, em um ponto P dado.

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à curva y=x^2 no ponto P(2,4). Para isso precisamos de dois ingredientes:
  1. A inclinação m_t da reta tangente, que se obtém calculando a derivada de y=x^2 e avaliando em x=2.
  2. A inclinação m_n da reta normal, que se relaciona com m_t pela condição de perpendicularidade (produto das inclinações igual a -1). Em seguida usaremos a forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta normal.

Passo 2

A derivada de y=x^2 é
y' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.
No ponto x=2, a inclinação da tangente é
m_t = y'\bigl(2\bigr) = 2\cdot 2 = 4.

Passo 3

Para que a reta normal seja perpendicular à tangente, o produto das inclinações deve ser -1, isto é,
m_t \cdot m_n = -1.
Substituindo m_t=4, vem
4 \cdot m_n = -1 \quad\Longrightarrow\quad m_n = -\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta com inclinação m_n passando por P(2,4):
y - y_0 = m_n\,(x - x_0),
ou seja,
y - 4 = -\tfrac{1}{4}\,(x - 2).
Podemos deixar em forma explícita:
y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{1}{2} + 4 = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{9}{2}.

Resposta

A equação da reta normal é
y - 4 = -\tfrac{1}{4}\,(x - 2) \quad\text{ou}\quad y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{9}{2}.

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