Determine a equação para a reta normal à curva
no ponto
.
Obs: duas retas
e
são perpendiculares se
, onde
e
são as inclinações das retas
e
, respectivamente, em um ponto
dado.
Obs: duas retas
Passo 1
O enunciado pede a reta normal à curva
no ponto
. Para isso precisamos de dois ingredientes:
- A inclinação
da reta tangente, que se obtém calculando a derivada de e avaliando em . - A inclinação
da reta normal, que se relaciona com pela condição de perpendicularidade (produto das inclinações igual a ). Em seguida usaremos a forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta normal.
Passo 2
A derivada de
é
No ponto
, a inclinação da tangente é
Passo 3
Para que a reta normal seja perpendicular à tangente, o produto das inclinações deve ser
, isto é,
Substituindo
, vem
Passo 4
Usamos a forma ponto-inclinação da reta com inclinação
passando por
:
ou seja,
Podemos deixar em forma explícita:
Resposta
A equação da reta normal é