Determine a equação da reta normal ao gráfico da função f(x)=x^2+1 no ponto de abscissa x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica! A questão pede para encontrar a equação da reta normal ao gráfico da função f(x) = x^2 + 1 no ponto onde a abscissa é x0 = 1 . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas (para encontrar a inclinação da tangente) e sobre como determinar a reta normal usando essa inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no gráfico da função quando x = 1 . Substituindo na função:
f(1) = 1^2 + 1 = 2
Então, o ponto de interesse é (1, 2) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à função no ponto (1, 2) . Para isso, calculamos a derivada de f(x) :
f'(x) = ddx(x^2 + 1) = 2x
Substituindo x = 1 na derivada:
f'(1) = 2 times 1 = 2
Então, a inclinação da tangente é 2.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabendo que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1, a inclinação da normal ( mnormal ) será o negativo do inverso da inclinação da tangente:
mnormal = -1mtan>=nte = -12

Passo 5

Agora que temos a inclinação da normal e um ponto por onde ela passa, podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = -12 e o ponto (1, 2) :
y - 2 = -12(x - 1)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma padrão:
y - 2 = -12x + 12
Somando 2 em ambos os lados:
y = -12x + 12 + 2
y = -12x + 52

Resposta

A equação da reta normal é y = -12x + 52 .

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