Determine a equação da reta normal ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica! A questão pede para encontrar a equação da reta normal ao gráfico da função
no ponto onde a abscissa é
. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas (para encontrar a inclinação da tangente) e sobre como determinar a reta normal usando essa inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto no gráfico da função quando
. Substituindo na função:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à função no ponto
. Para isso, calculamos a derivada de
:
Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da tangente é 2.
Passo 4
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabendo que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1, a inclinação da normal (
) será o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 5
Agora que temos a inclinação da normal e um ponto por onde ela passa, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo
e o ponto
:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma padrão:
Somando 2 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta normal é
.