Determine a, b in R se f^prime(x) existe para todo x e f(x)=llla x^2+b & se & x <= 1 1x & se & x>1.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar os valores de a e b de uma função definida em partes, de forma que a derivada f'(x) exista para todo x . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre funções diferenciáveis e a continuidade e diferenciabilidade em pontos onde a definição da função muda. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em x = 1 e que as derivadas dos dois lados nesse ponto sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função f(x) seja contínua em x = 1 . Isso significa que o valor de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x <= 1 ) deve ser igual ao valor quando x se aproxima de 1 pela direita ( x > 1 ).
Para x <= 1 , f(x) = a x^2 + b . Então, f(1) = a (1)^2 + b = a + b .
Para x > 1 , f(x) = 1x . Então, quando x se aproxima de 1 por essa parte, f(1) = 11 = 1 .
Igualando os dois valores para garantir a continuidade:
a + b = 1

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada f'(x) exista em x = 1 . Isso significa que a derivada pela esquerda ( x <= 1 ) deve ser igual à derivada pela direita ( x > 1 ) nesse ponto.
Primeiro, calculamos a derivada para cada parte da função:
Para x <= 1 , f(x) = a x^2 + b , então:
f'(x) = 2a x
Então, em x = 1 , f'(1^-) = 2a (1) = 2a
Para x > 1 , f(x) = 1x , então:
f'(x) = -1x^2
Então, em x = 1 , f'(1^+) = -1(1)^2 = -1
Igualando as derivadas para garantir a diferenciabilidade:
2a = -1

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
  1. a + b = 1
  2. 2a = -1
Primeiro, resolvemos a segunda equação para encontrar a :
2a = -1 Rightarrow a = -12
Agora, substituímos o valor de a na primeira equação para encontrar b :
-12 + b = 1 Rightarrow b = 1 + 12 = 32

Resposta

Os valores que garantem que f'(x) exista para todo x são:
a = -12 e b = 32

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