Determine
se
existe para todo
e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar os valores de
e
de uma função definida em partes, de forma que a derivada
exista para todo
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre funções diferenciáveis e a continuidade e diferenciabilidade em pontos onde a definição da função muda. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas dos dois lados nesse ponto sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
seja contínua em
. Isso significa que o valor de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) deve ser igual ao valor quando
se aproxima de 1 pela direita (
).
Para
,
. Então,
.
Para
,
. Então, quando
se aproxima de 1 por essa parte,
.
Igualando os dois valores para garantir a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada
exista em
. Isso significa que a derivada pela esquerda (
) deve ser igual à derivada pela direita (
) nesse ponto.
Primeiro, calculamos a derivada para cada parte da função:
Para
,
, então:
Então, em
,
Para
,
, então:
Então, em
,
Igualando as derivadas para garantir a diferenciabilidade:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Primeiro, resolvemos a segunda equação para encontrar
:
Agora, substituímos o valor de
na primeira equação para encontrar
:
Resposta
Os valores que garantem que
exista para todo
são: