Determine todas as retas tangentes ao gráfico da função
que passam pelo ponto
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar todas as retas tangentes ao gráfico da função
que passam pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das tangentes e um pouco de álgebra para achar as equações dessas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma função em um ponto específico tem a mesma inclinação da função nesse ponto. Para achar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função
.
A derivada de
em relação a
é:
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da função.
Passo 3
Agora, vamos supor que a reta tangente toca o gráfico da função no ponto
. Sabemos que
. A inclinação da tangente nesse ponto será:
Passo 4
Com a inclinação
e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto
, podemos escrever a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Mas sabemos que a reta também passa pelo ponto
. Vamos substituir
e
na equação da reta:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes.
Para
:
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto
:
Para
:
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto
:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
são: