Determine todas as retas tangentes ao gráfico da função y=1-x^2 que passam pelo ponto (0,2).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar todas as retas tangentes ao gráfico da função y = 1 - x^2 que passam pelo ponto (0, 2) . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das tangentes e um pouco de álgebra para achar as equações dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma função em um ponto específico tem a mesma inclinação da função nesse ponto. Para achar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função y = 1 - x^2 .
A derivada de y em relação a x é:
y' = dydx = -2x
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x da função.

Passo 3

Agora, vamos supor que a reta tangente toca o gráfico da função no ponto (x0, y0) . Sabemos que y0 = 1 - x0^2 . A inclinação da tangente nesse ponto será:
m = y' = -2x0

Passo 4

Com a inclinação m = -2x0 e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto (0, 2) , podemos escrever a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo y0 = 1 - x0^2 e m = -2x0 , temos:
y - (1 - x0^2) = -2x0(x - x0)

Passo 5

Mas sabemos que a reta também passa pelo ponto (0, 2) . Vamos substituir x = 0 e y = 2 na equação da reta:
2 - (1 - x0^2) = -2x0(0 - x0)
Simplificando:
2 - 1 + x0^2 = 2x0^2
1 + x0^2 = 2x0^2

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar x0 :
1 + x0^2 = 2x0^2
Subtraindo x0^2 de ambos os lados:
1 = x0^2
Portanto:
x0 = pm 1

Passo 7

Agora que temos os valores de x0 , vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes.
Para x0 = 1 :
m = -2(1) = -2
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto (0, 2) :
y - 2 = -2(x - 0) Rightarrow y = -2x + 2
Para x0 = -1 :
m = -2(-1) = 2
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto (0, 2) :
y - 2 = 2(x - 0) Rightarrow y = 2x + 2

Resposta

As retas tangentes ao gráfico de y = 1 - x^2 que passam pelo ponto (0, 2) são:
y = -2x + 2 e y = 2x + 2

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