(1) Determine a equação da reta que passa por (-1,3) e (2,-3).

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a equação da reta que passa por (-1,3) e (2,-3)".
Informações dadas:
  • Ponto P_1 = (-1,3).
  • Ponto P_2 = (2,-3).
    O que se quer: a equação da reta que contém esses dois pontos (pode ser apresentada em forma angular/slope-intercept ou forma geral).

Passo 2

Conceito importante (o tal do “declive” ou “coeficiente angular”): a inclinação (ou coeficiente angular) de uma reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde:
  • m é a inclinação (quanto a reta sobe ou desce quando x aumenta),
  • x_1,y_1,x_2,y_2 são as coordenadas dos pontos (com x_1\neq x_2 para a fórmula fazer sentido).
    Isso vem da definição de taxa de variação: razão entre variação em y e variação em x.
Aplicando aos pontos dados: tomei (x_1,y_1)=(-1,3) e (x_2,y_2)=(2,-3). Então
m=\frac{-3-3}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2.

Passo 3

Agora usamos a forma ponto-declive da equação da reta, que é muito prática e diz:
y-y_1=m(x-x_1),
onde m é a inclinação e (x_1,y_1) é um ponto qualquer da reta. Vou usar o ponto (-1,3) e m=-2. Substituindo:
y-3 = -2\bigl(x-(-1)\bigr)= -2(x+1).

Passo 4

Simplificar para a forma mais comum (forma y=mx+b, chamada forma explícita ou slope-intercept). Expandindo e isolando y:
y-3 = -2x-2,
y = -2x-2+3,
y = -2x+1.
Também é comum dar a forma geral (ax+by+c=0). Multiplicando/arrumando:
y = -2x+1 \quad\Longrightarrow\quad 2x+y-1=0,
ou ainda
2x+y=1.

Resposta

y=-2x+1

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