(6) Mostre que \operatorname{sinh} ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x\in\mathbb{R},
\operatorname{sinh}^{-1} x = \ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right).
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • A função hiperbólica seno é definida por
\operatorname{sinh} t = \frac{e^{t}-e^{-t}}{2},
para todo t\in\mathbb{R}.
  • A notação \operatorname{sinh}^{-1}x denota a função inversa de \operatorname{sinh}: isto é, se y=\operatorname{sinh}^{-1}x então \operatorname{sinh} y = x.
  • O objetivo é demonstrar a identidade acima para toda x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos começar usando a definição da inversa. Seja
y = \operatorname{sinh}^{-1}x.
Pelo significado de inversa, isto equivale a
\operatorname{sinh} y = x.
Agora escrevemos \operatorname{sinh} y em termos de exponenciais: pela definição,
\frac{e^{y}-e^{-y}}{2} = x.
Esta é a equação que vamos manipular para obter y em função de x. Aqui y é a incógnita e x é um número real dado.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
e^{y}-e^{-y} = 2x.
Agora multiplico ambos os lados por e^{y} (isso é seguro porque e^{y}>0 para todo y):
e^{2y}-1 = 2x e^{y}.
Reorganizando, obtemos uma equação quadrática em e^{y}. Defina z = e^{y}. Então a equação fica
z^{2}-2x z-1 = 0.

Passo 4

Resolvemos a quadrática em z usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-2x)^{2}-4\cdot1\cdot(-1) = 4x^{2}+4 = 4(x^{2}+1).
Portanto as raízes são
z = \frac{2x \pm \sqrt{4(x^{2}+1)}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2}+1}.

Passo 5

Lembrando que z=e^{y}>0, precisamos escolher entre as duas raízes aquela que é positiva. Observe que
x - \sqrt{x^{2}+1} < 0
para todo x\in\mathbb{R}, porque \sqrt{x^{2}+1} > |x|. Logo a raiz x-\sqrt{x^{2}+1} é negativa e não pode ser igual a e^{y}. Assim a única possibilidade é
e^{y} = x + \sqrt{x^{2}+1}.
Como x+\sqrt{x^{2}+1}>0 (novamente porque \sqrt{x^{2}+1}>|x|), tomar logaritmo natural é válido. Aplicando \ln em ambos os lados resulta em
y = \ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right).

Passo 6

Concluímos que, para todo x\in\mathbb{R}, se y=\operatorname{sinh}^{-1}x então y=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right). Ou seja,
\operatorname{sinh}^{-1}x = \ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right).

Passo 7

(Faixa de verificação alternativa — útil para a prova) Podemos também verificar diretamente que a função
g(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)
é a inversa de \operatorname{sinh}. Calculemos \operatorname{sinh}(g(x)). Defina u = x+\sqrt{x^{2}+1}. Então e^{g(x)}=u e e^{-g(x)}=1/u. Assim
\operatorname{sinh}(g(x))=\frac{u-\tfrac{1}{u}}{2}.
Note que
\frac{1}{u} = \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}} = \sqrt{x^{2}+1}-x,
pois (x+\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{x^{2}+1}-x)=1. Logo
u-\frac{1}{u} = (x+\sqrt{x^{2}+1}) - (\sqrt{x^{2}+1}-x) = 2x,
e portanto
\operatorname{sinh}(g(x))=\frac{2x}{2}=x.
Isso mostra que g compõe com \operatorname{sinh} para dar a identidade, logo g=\operatorname{sinh}^{-1}. Esta verificação confirma a fórmula encontrada.

Resposta

\operatorname{sinh}^{-1} x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)

Exercícios relacionados