(6) Mostre que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
- A função hiperbólica seno é definida por
para todo
.
- A notação
denota a função inversa de : isto é, se então . - O objetivo é demonstrar a identidade acima para toda
.
Passo 2
Vamos começar usando a definição da inversa. Seja
Pelo significado de inversa, isto equivale a
Agora escrevemos
em termos de exponenciais: pela definição,
Esta é a equação que vamos manipular para obter
em função de
. Aqui
é a incógnita e
é um número real dado.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora multiplico ambos os lados por
(isso é seguro porque
para todo
):
Reorganizando, obtemos uma equação quadrática em
. Defina
. Então a equação fica
Passo 4
Resolvemos a quadrática em
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Portanto as raízes são
Passo 5
Lembrando que
, precisamos escolher entre as duas raízes aquela que é positiva. Observe que
para todo
, porque
. Logo a raiz
é negativa e não pode ser igual a
. Assim a única possibilidade é
Como
(novamente porque
), tomar logaritmo natural é válido. Aplicando
em ambos os lados resulta em
Passo 6
Concluímos que, para todo
, se
então
. Ou seja,
Passo 7
(Faixa de verificação alternativa — útil para a prova) Podemos também verificar diretamente que a função
é a inversa de
. Calculemos
. Defina
. Então
e
. Assim
Note que
pois
. Logo
e portanto
Isso mostra que
compõe com
para dar a identidade, logo
. Esta verificação confirma a fórmula encontrada.