Determine a equação da reta que passa por B(-2,1,1) e intersecta as retas
c x-y+z=4 2 x+z=6

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por
Este é um problema de geometria analítica no espaço: vamos escrever cada reta em forma paramétrica, assumir que a reta buscada é
com encontra e em certos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, achamos a equação paramétrica de
da segunda vem , obtemos

Passo 3

Agora seja
R: (x,y,z) = (-2,1,1) + lambda,(v1,v2,v3)
Para intersectar L1 em algum lambda=lambda1 e t=t1, devemos ter
(-2,1,1)+lambda1(v1,v2,v3) = (2,4,-1)+t1(0,1,2)
Das componentes:
-2 + lambda1 v1 = 2, 1 + lambda1 v2 = 4 + t1, 1 + lambda1 v3 = -1 + 2t1
Da primeira vem lambda1 v1=4. Da segunda, t1=lambda1 v2-3. Substituindo na terceira:
lambda1 v3 = -1 + 2(lambda1 v2 -3) -1 =2lambda1 v2 -8 ;Longrightarrow; v3 = 2v2 - tfrac8lambda1
Mas tfrac8lambda1 = 8,(v1/4)=2v1, logo
v3 = 2v2 - 2v1

Passo 4

Para intersectar L2 em lambda=lambda2 e s=s2, exigimos
(-2,1,1)+lambda2(v1,v2,v3) = (s,,2-s,,6-2s)
Da componente x: s = -2 + lambda2 v1. Da y:
;1 + lambda2 v2 = 2 - s =2 -(-2+lambda2 v1)=4 - lambda2 v1,
então
lambda2(v1+v2)=3.
Da z:
;1 + lambda2 v3 = 6 - 2s =6 -2(-2+lambda2 v1)=10 -2lambda2 v1,
então
lambda2(v3+2v1)=9.
Dividindo essas duas igualdades:
v3 + 2v1v1 + v2 = 93 = 3 ;Longrightarrow; v3 + 2v1 = 3(v1 + v2) ;Longrightarrow; v3 = v1 + 3v2

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para v3:
2v2 - 2v1 = v1 + 3v2 ;Longrightarrow; -3v1 - v2 = 0 ;Longrightarrow; v2 = -3v1
Então
v3 = 2(-3v1) - 2v1 = -8v1
Tomando v1=1 para simplificar, achamos
v = (1,-3,-8)

Passo 6

Portanto, a reta procurada é
(x,y,z) = (-2,1,1) + t,(1,-3,-8), tinR,
ou, na forma simétrica,
x+21 = y-1-3 = z-1-8

Resposta

boxed(x,y,z)=(-2,1,1)+t,(1,-3,-8), tinR

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