Determine a equação da reta que passa por (1,3) e juntamente com os eixos coordenados delimita o triângulo de menor área.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa por (1,3) e que, junto com os eixos coordenados, delimita um triângulo de menor área possível.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A reta passa por (1,3).
  • A reta intercepta o eixo x em (a,0) e o eixo y em (0,b) (esses pontos dependem da reta).
  • O triângulo formado tem vértices (0,0), (a,0) e (0,b).
  • Precisamos achar a reta (ou seja, seus coeficientes) que minimize a área desse triângulo.

Passo 2

Representação da reta por interceptos e significado das variáveis:
  • Uma reta que corta os eixos em (a,0) e (0,b) pode ser escrita na forma de interceptos
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,
onde a é o intercepto no eixo x (o ponto (a,0)) e b é o intercepto no eixo y (o ponto (0,b)). Aqui a e b são números reais diferentes de zero e, para obter um triângulo no primeiro quadrante (que é o caso natural quando a reta passa por (1,3)), vamos considerar a>1 e b>0 (explicarei a escolha do domínio no próximo passo).
  • A área do triângulo formado pelos pontos (0,0), (a,0) e (0,b) é
A=\frac{1}{2}|ab|.
Como vamos trabalhar com a>1 e b>0, isso fica simplesmente
A=\frac{1}{2}ab.

Passo 3

Usar a condição de que a reta passa por (1,3) para relacionar a e b:
  • Substituindo x=1 e y=3 na forma de interceptos obtemos
\frac{1}{a}+\frac{3}{b}=1.
  • Isolando b em função de a:
\frac{3}{b}=1-\frac{1}{a} \quad\Rightarrow\quad b=\frac{3}{1-\frac{1}{a}}=\frac{3a}{a-1}.
  • Observação sobre o domínio: para b>0 precisamos de a-1>0, isto é a>1. Esse é o domínio natural para buscarmos o mínimo do problema porque, intuitivamente, queremos o triângulo no primeiro quadrante (a reta corta ambos os eixos positivos) — e a relação obtida mostra que isso exige a>1.

Passo 4

Escrever a área como função de uma só variável a:
  • Substituindo b=\dfrac{3a}{a-1} na expressão da área,
A(a)=\frac{1}{2}a\cdot\frac{3a}{a-1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{a^{2}}{a-1},
com domínio a>1.

Passo 5

Minimizar A(a) usando derivada (passo a passo):
  • Vamos derivar A(a). Para facilitar, defina f(a)=\dfrac{a^{2}}{a-1} e depois multiplicamos por \dfrac{3}{2}.
  • Regra do quociente: para f(a)=\dfrac{u(a)}{v(a)} tem-se
f'(a)=\frac{u'(a)v(a)-u(a)v'(a)}{[v(a)]^{2}}.
Aqui u(a)=a^{2} e v(a)=a-1. Então u'(a)=2a e v'(a)=1.
  • Aplicando a regra,
f'(a)=\frac{2a(a-1)-a^{2}\cdot 1}{(a-1)^{2}}=\frac{2a^{2}-2a-a^{2}}{(a-1)^{2}}=\frac{a^{2}-2a}{(a-1)^{2}}=\frac{a(a-2)}{(a-1)^{2}}.
  • Como A(a)=\dfrac{3}{2}f(a), então
A'(a)=\frac{3}{2}f'(a)=\frac{3}{2}\cdot\frac{a(a-2)}{(a-1)^{2}}.
  • Zerar a derivada para encontrar pontos críticos:
A'(a)=0 \quad\Longrightarrow\quad a(a-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0 \text{ ou } a=2.
No domínio a>1 apenas a=2 é admissível.

Passo 6

Verificar que a=2 é mínimo:
  • Observando o sinal de A'(a) para a>1: o fator (a-1)^{2} no denominador é sempre positivo; o sinal de A'(a) vem de a(a-2). Para 1<a<2 tem-se a(a-2)<0 (derivada negativa) e para a>2 tem-se a(a-2)>0 (derivada positiva). Logo a derivada troca de negativa para positiva em a=2, caracterizando um mínimo em a=2.
  • Portanto o mínimo da área ocorre em a=2.

Passo 7

Encontrar b correspondente e a equação da reta:
  • Usando b=\dfrac{3a}{a-1} com a=2,
b=\frac{3\cdot 2}{2-1}=6.
  • A reta em forma de interceptos é
\frac{x}{2}+\frac{y}{6}=1.
  • Colocando em forma padrão (multiplicando por 6):
3x+y=6.
  • Em forma reduzida (declive-intercepto),
y=-3x+6.

Resposta

3x+y=6

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