Determine a equação da reta que passa por
e juntamente com os eixos coordenados delimita o triângulo de menor área.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa por
e que, junto com os eixos coordenados, delimita um triângulo de menor área possível.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A reta passa por
. - A reta intercepta o eixo
em e o eixo em (esses pontos dependem da reta). - O triângulo formado tem vértices
, e . - Precisamos achar a reta (ou seja, seus coeficientes) que minimize a área desse triângulo.
Passo 2
Representação da reta por interceptos e significado das variáveis:
- Uma reta que corta os eixos em
e pode ser escrita na forma de interceptos
onde
é o intercepto no eixo
(o ponto
) e
é o intercepto no eixo
(o ponto
). Aqui
e
são números reais diferentes de zero e, para obter um triângulo no primeiro quadrante (que é o caso natural quando a reta passa por
), vamos considerar
e
(explicarei a escolha do domínio no próximo passo).
- A área do triângulo formado pelos pontos
, e é
Como vamos trabalhar com
e
, isso fica simplesmente
Passo 3
Usar a condição de que a reta passa por
para relacionar
e
:
- Substituindo
e na forma de interceptos obtemos
- Isolando
em função de :
- Observação sobre o domínio: para
precisamos de , isto é . Esse é o domínio natural para buscarmos o mínimo do problema porque, intuitivamente, queremos o triângulo no primeiro quadrante (a reta corta ambos os eixos positivos) — e a relação obtida mostra que isso exige .
Passo 4
Escrever a área como função de uma só variável
:
- Substituindo
na expressão da área,
com domínio
.
Passo 5
Minimizar
usando derivada (passo a passo):
- Vamos derivar
. Para facilitar, defina e depois multiplicamos por . - Regra do quociente: para
tem-se
Aqui
e
. Então
e
.
- Aplicando a regra,
- Como
, então
- Zerar a derivada para encontrar pontos críticos:
No domínio
apenas
é admissível.
Passo 6
Verificar que
é mínimo:
- Observando o sinal de
para : o fator no denominador é sempre positivo; o sinal de vem de . Para tem-se (derivada negativa) e para tem-se (derivada positiva). Logo a derivada troca de negativa para positiva em , caracterizando um mínimo em . - Portanto o mínimo da área ocorre em
.
Passo 7
Encontrar
correspondente e a equação da reta:
- Usando
com ,
- A reta em forma de interceptos é
- Colocando em forma padrão (multiplicando por
):
- Em forma reduzida (declive-intercepto),