Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=5 e^{-t} \operatorname{sen}(2 t) \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
Passo 1
O problema pede para resolver o problema de valor inicial em [0,+\infty)\)
\[\begin{cases} y''+y'-2y=5e^{-t}\sin(2t),\\[4pt] y(0)=1,\; y'(0)=0. \end{cases}
Informações dadas:
Equação diferencial linear de segunda ordem com termo não-homogêneo 5e^{-t}\sin(2t)\].
- Condições iniciais \(y(0)=1 e y'(0)=0.
- Queremos a solução y(t) para t\ge0.]
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, resumo didático das propriedades que vou usar:
Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
Explicação rápida: essas fórmulas vêm de integrar por partes aplicando a definição; elas transformam derivadas no domínio t em polinômios em s multiplicando Y(s) e subtraindo termos com as condições iniciais — isso é ótimo porque transforma a EDO em uma equação algébrica em s.
Deslocamento exponencial: \mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a) (se F é a transformada de f).
Inversas: se tiver termos da forma \dfrac{1}{s-a} a inversa é e^{at}; se tiver \dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} dá e^{-at}\cos(bt) e se tiver \dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}} dá e^{-at}\sin(bt).
Essas regras são as ferramentas para transformar a EDO e voltar ao domínio do tempo.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos pela linearidade:
Agora Y_{2}(s)\). Fazemos decomposição parcial da forma
\[\frac{10}{(s-1)(s+2)\big((s+1)^{2}+4\big)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}+\frac{Cs+D}{(s+1)^{2}+4}.
Multiplicando pelo denominador comum obtemos a identidade polinomial