Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=\operatorname{senh} t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial em [0,+\infty)\): \[\begin{cases} y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=\operatorname{senh} t,\\[4pt] y(0)=0,\; y^{\prime}(0)=0,\; y^{\prime\prime}(0)=0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{- Equação diferencial linear de ordem }3.çã
\text{- Condições iniciais em }t=0:\; y(0)=0,\; y'(0)=0,\; y''(0)=0.çõ
\text{- O termo não-homogêneo é } \operatorname{senh} t \;(\text{ou }\operatorname{sinh} t).ãêé
A tarefa é encontrar y(t)\] para \(t\ge 0, usando a transformada de Laplace.]

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace. Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
quando a integral converge. A propriedade essencial para equações diferenciais é a transformada das derivadas. Para uma função y(t) com derivadas até ordem 3, temos:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y'''(t)\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
\text{\(Y(s)\)}:\text{ transformada de Laplace de \(y(t)\)}.
\text{\(s\)}:\text{ variável complexa (parâmetro) da transformada.}áâ
Essas fórmulas aparecem ao integrar por partes repetidamente; elas transformam derivadas em expressões algébricas em s envolvendo as condições iniciais.

Passo 3

Transformo o membro direito. A transformada de Laplace de \operatorname{sinh}(at) é conhecida:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(at)\}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}},\quad \text{para } \Re(s)>|a|.
No nosso caso a=1, então
\mathcal{L}\{\operatorname{senh} t\}=\mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}=\frac{1}{s^{2}-1}.

Passo 4

Agora aplico a transformada de Laplace na equação inteira. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=y'(0)=y''(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{y^{\prime\prime\prime}\}-4\mathcal{L}\{y'\}=\mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}.
Substituindo as expressões:
\bigl(s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s y'(0)-y''(0)\bigr)-4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=\frac{1}{s^{2}-1}.
Como todas as condições iniciais são zero, isso simplifica muito:
s^{3}Y(s)-4sY(s)=\frac{1}{s^{2}-1}.
Coloco Y(s) em evidência:
Y(s)\bigl(s^{3}-4s\bigr)=\frac{1}{s^{2}-1}.
Fatoro s:
s^{3}-4s=s(s^{2}-4)=s(s-2)(s+2).
Assim
Y(s)=\frac{1}{(s^{2}-1)\,s\,(s^{2}-4)}.
Também é útil fatorar s^{2}-1=(s-1)(s+1). Então o denominador total é s(s-1)(s+1)(s-2)(s+2), ou seja, polos simples em s=0,\pm1,\pm2.

Passo 5

Para inverter a transformada precisamos decompor Y(s) em frações simples. Como os polos são simples, escrevemos:
Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s-2}+\frac{E}{s+2}.
Método prático para calcular coeficientes quando os polos são simples: multiplicar por o fator correspondente e avaliar no polo (resíduo). Ex.: A=\lim_{s\to 0}sY(s), B=\lim_{s\to 1}(s-1)Y(s), etc. Vou calcular cada coeficiente com cuidado.

Passo 6

Cálculo de A:
A=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{s}{(s^{2}-1)s(s^{2}-4)}=\lim_{s\to 0}\frac{1}{(s^{2}-1)(s^{2}-4)}.
Avalio em s=0:
A=\frac{1}{(0^{2}-1)(0^{2}-4)}=\frac{1}{(-1)(-4)}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Cálculo de B:
B=\lim_{s\to 1}(s-1)Y(s)=\lim_{s\to 1}\frac{s-1}{(s^{2}-1)s(s^{2}-4)}.
Como s^{2}-1=(s-1)(s+1), cancela s-1 e obtemos
B=\left.\frac{1}{s(s+1)(s^{2}-4)}\right|_{s=1}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot(1-4)}=\frac{1}{2\cdot(-3)}=-\frac{1}{6}.

Passo 8

Cálculo de C:
C=\lim_{s\to -1}(s+1)Y(s)=\left.\frac{1}{s(s-1)(s^{2}-4)}\right|_{s=-1}.
Avalio em s=-1:
C=\frac{1}{(-1)\cdot(-2)\cdot(1-4)}=\frac{1}{2\cdot(-3)}=-\frac{1}{6}.

Passo 9

Cálculo de D:
D=\lim_{s\to 2}(s-2)Y(s)=\left.\frac{1}{s(s^{2}-1)(s+2)}\right|_{s=2}.
Avalio em s=2:
D=\frac{1}{2\cdot(4-1)\cdot 4}=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{24}.

Passo 10

Cálculo de E:
E=\lim_{s\to -2}(s+2)Y(s)=\left.\frac{1}{s(s^{2}-1)(s-2)}\right|_{s=-2}.
Avalio em s=-2:
E=\frac{1}{(-2)\cdot(4-1)\cdot(-4)}=\frac{1}{(-2)\cdot 3\cdot (-4)}=\frac{1}{24}.

Passo 11

Agora temos os coeficientes:
A=\tfrac{1}{4},\quad B=-\tfrac{1}{6},\quad C=-\tfrac{1}{6},\quad D=\tfrac{1}{24},\quad E=\tfrac{1}{24}.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{s+2}.
A transformada inversa é direta usando:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aplico termo a termo:
y(t)=\frac{1}{4}\cdot 1-\frac{1}{6}e^{t}-\frac{1}{6}e^{-t}+\frac{1}{24}e^{2t}+\frac{1}{24}e^{-2t}.

Passo 12

Podemos deixar y(t) numa forma mais compacta usando as funções hiperbólicas \operatorname{cosh}. Lembre-se:
\operatorname{cosh} u=\frac{e^{u}+e^{-u}}{2}.
Agrupando termos com e^{t} e e^{-t}, e com e^{2t} e e^{-2t}, obtemos
-\frac{1}{6}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)= -\frac{1}{3}\operatorname{cosh} t,
\frac{1}{24}\bigl(e^{2t}+e^{-2t}\bigr)=\frac{1}{12}\operatorname{cosh} 2t.
Assim uma forma mais limpa é
y(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\operatorname{cosh} t+\frac{1}{12}\operatorname{cosh} 2t.
Como verificação rápida (controle): em t=0,
y(0)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=0,
portanto a condição inicial y(0)=0 é satisfeita. As demais condições podem ser verificadas derivando a expressão e avaliando em t=0 (elas dão zero, conforme as condições fornecidas).

Resposta

y(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\operatorname{cosh} t+\frac{1}{12}\operatorname{cosh} 2t.

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