Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=\operatorname{senh} t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0\end{array}\right.
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial em [0,+\infty)\):
\[\begin{cases} y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=\operatorname{senh} t,\\[4pt] y(0)=0,\; y^{\prime}(0)=0,\; y^{\prime\prime}(0)=0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{- Equação diferencial linear de ordem }3.
\text{- Condições iniciais em }t=0:\; y(0)=0,\; y'(0)=0,\; y''(0)=0.
\text{- O termo não-homogêneo é } \operatorname{senh} t \;(\text{ou }\operatorname{sinh} t).
A tarefa é encontrar y(t)\] para \(t\ge 0, usando a transformada de Laplace.]
Passo 2
Vou explicar a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace. Definição:
quando a integral converge. A propriedade essencial para equações diferenciais é a transformada das derivadas. Para uma função y(t) com derivadas até ordem 3, temos:
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
\text{\(Y(s)\)}:\text{ transformada de Laplace de \(y(t)\)}.
\text{\(s\)}:\text{ variável complexa (parâmetro) da transformada.}
Essas fórmulas aparecem ao integrar por partes repetidamente; elas transformam derivadas em expressões algébricas em s envolvendo as condições iniciais.
Passo 3
Transformo o membro direito. A transformada de Laplace de \operatorname{sinh}(at) é conhecida:
Método prático para calcular coeficientes quando os polos são simples: multiplicar por o fator correspondente e avaliar no polo (resíduo). Ex.: A=\lim_{s\to 0}sY(s), B=\lim_{s\to 1}(s-1)Y(s), etc. Vou calcular cada coeficiente com cuidado.
portanto a condição inicial y(0)=0 é satisfeita. As demais condições podem ser verificadas derivando a expressão e avaliando em t=0 (elas dão zero, conforme as condições fornecidas).