Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a altura do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4) relativa ao vértice (0,0).

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo e um ponto: (0,0), (2,0), (0,4) e o ponto (1,2).
Pede-se a equação da reta que passa por (1,2) e "é a altura do triângulo relativa ao vértice (0,0)".
Informações relevantes listadas:
  • os dois extremos do lado oposto ao vértice (0,0) são (2,0) e (0,4) (este lado é o lado ao qual a altura relativa a (0,0) deve ser perpendicular);
  • o ponto por onde a reta pedida passa é (1,2).

Passo 2

Entendendo o que é uma altura: a altura relativa ao vértice (0,0) é a reta perpendicular ao lado oposto (a reta que passa por (2,0) e (0,4)). Então precisamos da inclinação (coeficiente angular) desse lado e daí obter a inclinação da reta perpendicular. Vou primeiro calcular a inclinação da reta que une (2,0) e (0,4).
Fórmula da inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde m é a inclinação (slope) — lembra que é “quanto a reta sobe (diferença de y) quando anda à direita (diferença de x)”.
Aplicando aos pontos (2,0) e (0,4):
m_{\text{lado}}=\frac{4-0}{0-2}=\frac{4}{-2}=-2.

Passo 3

Regra da perpendicularidade: se uma reta tem inclinação m, então qualquer reta perpendicular a ela (não vertical nem horizontal especiais) tem inclinação igual ao recíproco negativo, isto é -\dfrac{1}{m}. Em outras palavras, se duas retas são perpendiculares então os seus coeficientes angulares m_1 e m_2 satisfazem m_1\cdot m_2=-1. (Ex.: se uma tem m=-2, a outra terá m'=\tfrac{1}{2}, porque -2\cdot\tfrac{1}{2}=-1.)
Como o lado oposto tem inclinação -2, a inclinação da altura (reta perpendicular a esse lado) é
m_{\text{altura}}=-\frac{1}{m_{\text{lado}}}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora queremos a reta com inclinação m=\tfrac{1}{2} que passa pelo ponto (1,2). Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta: se a reta passa por (x_0,y_0) e tem inclinação m, então
y-y_0=m(x-x_0),
onde x,y são coordenadas genéricas de um ponto qualquer da reta.
Aqui x_0=1, y_0=2 e m=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
y-2=\tfrac{1}{2}(x-1).

Passo 5

Agora simplifico a equação para a forma explícita (senoide) y= ou para forma padrão. Primeiro distribuo e somo 2:
y-2=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}+2.
Calculo o termo constante:
-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{-1+4}{2}=\tfrac{3}{2},
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y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Verificações rápidas (pra te deixar confiante):
  • A inclinação é \tfrac{1}{2}, que é de fato o recíproco negativo de -2, então a reta é perpendicular ao lado (2,0)\!-\!(0,4).
  • Substituindo (1,2) em y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}: 2=\tfrac{1}{2}\cdot1+\tfrac{3}{2}= \tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=2. Portanto a reta passa pelo ponto dado. Tudo confere!

Resposta

y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}

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