Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a altura do triângulo de vértices
,
e
relativa ao vértice
.
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo e um ponto:
,
,
e o ponto
.
Pede-se a equação da reta que passa por e "é a altura do triângulo relativa ao vértice
".
Informações relevantes listadas:
Pede-se a equação da reta que passa por
Informações relevantes listadas:
- os dois extremos do lado oposto ao vértice
são e (este lado é o lado ao qual a altura relativa a deve ser perpendicular); - o ponto por onde a reta pedida passa é
.
Passo 2
Entendendo o que é uma altura: a altura relativa ao vértice
é a reta perpendicular ao lado oposto (a reta que passa por
e
). Então precisamos da inclinação (coeficiente angular) desse lado e daí obter a inclinação da reta perpendicular. Vou primeiro calcular a inclinação da reta que une
e
.
Fórmula da inclinação entre dois pontos
e
:
onde
é a inclinação (slope) — lembra que é “quanto a reta sobe (diferença de
) quando anda à direita (diferença de
)”.
Aplicando aos pontos
e
:
Passo 3
Regra da perpendicularidade: se uma reta tem inclinação
, então qualquer reta perpendicular a ela (não vertical nem horizontal especiais) tem inclinação igual ao recíproco negativo, isto é
. Em outras palavras, se duas retas são perpendiculares então os seus coeficientes angulares
e
satisfazem
. (Ex.: se uma tem
, a outra terá
, porque
.)
Como o lado oposto tem inclinação
, a inclinação da altura (reta perpendicular a esse lado) é
Passo 4
Agora queremos a reta com inclinação
que passa pelo ponto
. Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta: se a reta passa por
e tem inclinação
, então
onde
são coordenadas genéricas de um ponto qualquer da reta.
Aqui
,
e
. Substituindo:
Passo 5
Agora simplifico a equação para a forma explícita (senoide)
ou para forma padrão. Primeiro distribuo e somo
:
Calculo o termo constante:
logo
Passo 6
Verificações rápidas (pra te deixar confiante):
- A inclinação é
, que é de fato o recíproco negativo de , então a reta é perpendicular ao lado . - Substituindo
em : . Portanto a reta passa pelo ponto dado. Tudo confere!