Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a reta de Euler do triângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto
e que é a reta de Euler do triângulo de vértices
,
e
.
Informações relevantes dadas:
- Vértices do triângulo:
, e . - A reta procurada passa por
e é a reta de Euler do triângulo (ou seja, é a reta que contém o centro da circunferência circunscrita, o baricentro e o ortocentro do triângulo).
Passo 2
Vou explicar os pontos importantes que usamos para construir a reta de Euler, de um jeito bem passo a passo.
- Definição prática do baricentro (centro de massa, ponto médio das medianas): para um triângulo de vértices
, , , o baricentro tem coordenadas
Isso vem da média das coordenadas e é fácil de calcular na prova sem calculadora.
-
Definição prática do circuncentro: é o centro da circunferência que passa pelos três vértices. Uma observação muito útil (que salva tempo na prova): se o triângulo é retângulo (ou seja, tem um ângulo de
), o circuncentro é exatamente o ponto médio da hipotenusa. Para detectar um ângulo reto podemos usar o produto escalar: vetores perpendiculares têm produto escalar zero. -
Reta de Euler: passa pelo circuncentro
, pelo baricentro e pelo ortocentro . Portanto basta achar e e traçar a reta que passa por esses dois pontos.
Passo 3
Primeiro encontramos o baricentro
usando a fórmula da média das coordenadas. Tomando os vértices
,
e
,
Expliquei cada passo: somei as abscissas e dividi por
, somei as ordenadas e dividi por
.
Passo 4
Agora determinamos o circuncentro
. Primeiro verifico se o triângulo é retângulo no vértice
. Considere os vetores que saem de
para os outros dois vértices:
O produto escalar é
portanto os vetores são perpendiculares e o ângulo em
é reto. Assim o triângulo é retângulo com hipotenusa entre
e
.
Como expliquei antes, em um triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. Então calculamos o ponto médio entre
e
:
Note que esse é exatamente o ponto pelo qual a reta pedida deve passar (o enunciado já disse que a reta passa por
, ou seja, confirmou que esse ponto é o circuncentro).
Passo 5
A reta de Euler passa por
e por
. Agora calculamos a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por esses dois pontos:
Então a reta tem coeficiente angular
.
Passo 6
Agora escrevemos a equação da reta com coeficiente angular
passando por
. Usando a forma ponto-de-reta:
temos
Desenvolvendo:
Portanto a reta de Euler do triângulo é a reta de equação
.