Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Euler do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e que é a reta de Euler do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).
Informações relevantes dadas:
  • Vértices do triângulo: (0,0), (2,0) e (0,4).
  • A reta procurada passa por (1,2) e é a reta de Euler do triângulo (ou seja, é a reta que contém o centro da circunferência circunscrita, o baricentro e o ortocentro do triângulo).

Passo 2

Vou explicar os pontos importantes que usamos para construir a reta de Euler, de um jeito bem passo a passo.
  • Definição prática do baricentro (centro de massa, ponto médio das medianas): para um triângulo de vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), o baricentro G tem coordenadas
G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\;\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).
Isso vem da média das coordenadas e é fácil de calcular na prova sem calculadora.
  • Definição prática do circuncentro: é o centro da circunferência que passa pelos três vértices. Uma observação muito útil (que salva tempo na prova): se o triângulo é retângulo (ou seja, tem um ângulo de 90^\circ), o circuncentro é exatamente o ponto médio da hipotenusa. Para detectar um ângulo reto podemos usar o produto escalar: vetores perpendiculares têm produto escalar zero.
  • Reta de Euler: passa pelo circuncentro O, pelo baricentro G e pelo ortocentro H. Portanto basta achar O e G e traçar a reta que passa por esses dois pontos.

Passo 3

Primeiro encontramos o baricentro G usando a fórmula da média das coordenadas. Tomando os vértices (0,0), (2,0) e (0,4),
G=\left(\frac{0+2+0}{3},\;\frac{0+0+4}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},\;\frac{4}{3}\right).
Expliquei cada passo: somei as abscissas e dividi por 3, somei as ordenadas e dividi por 3.

Passo 4

Agora determinamos o circuncentro O. Primeiro verifico se o triângulo é retângulo no vértice (0,0). Considere os vetores que saem de (0,0) para os outros dois vértices:
\vec{u}=(2,0),\qquad \vec{v}=(0,4).
O produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot0+0\cdot4=0,
portanto os vetores são perpendiculares e o ângulo em (0,0) é reto. Assim o triângulo é retângulo com hipotenusa entre (2,0) e (0,4).
Como expliquei antes, em um triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. Então calculamos o ponto médio entre (2,0) e (0,4):
O=\left(\frac{2+0}{2},\;\frac{0+4}{2}\right)=(1,2).
Note que esse é exatamente o ponto pelo qual a reta pedida deve passar (o enunciado já disse que a reta passa por (1,2), ou seja, confirmou que esse ponto é o circuncentro).

Passo 5

A reta de Euler passa por O=(1,2) e por G=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\right). Agora calculamos a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por esses dois pontos:
m=\frac{y_O-y_G}{x_O-x_G}=\frac{2-\tfrac{4}{3}}{1-\tfrac{2}{3}}=\frac{\tfrac{6}{3}-\tfrac{4}{3}}{\tfrac{3}{3}-\tfrac{2}{3}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}}=2.
Então a reta tem coeficiente angular m=2.

Passo 6

Agora escrevemos a equação da reta com coeficiente angular 2 passando por O=(1,2). Usando a forma ponto-de-reta:
y-y_0=m(x-x_0),
temos
y-2=2(x-1).
Desenvolvendo:
y-2=2x-2\quad\Rightarrow\quad y=2x.
Portanto a reta de Euler do triângulo é a reta de equação \;y=2x.

Resposta

y=2x

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