Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a ceviana do triângulo de vértices
,
e
que divide o lado oposto em duas partes iguais.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta que (i) passa pelo ponto
e (ii) é a ceviana de um triângulo cujos vértices são
,
e
, sendo que essa ceviana divide o lado oposto em duas partes iguais.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Vértices do triângulo:
, e . - Ponto dado pela reta/ceviana:
. - A ceviana divide o lado oposto em duas partes iguais (ou seja, atinge o ponto médio do lado oposto ao vértice de onde parte).
Passo 2
Interpretando a condição “divide o lado oposto em duas partes iguais”: isso significa que o ponto
é o ponto médio de algum lado do triângulo (ou é o extremo da ceviana no lado oposto). Vamos verificar qual segmento tem como ponto médio
. Usamos a fórmula do ponto médio de dois pontos
e
:
Calculamos o ponto médio do lado que liga
e
:
Como esse resultado é exatamente
, concluímos que
é o ponto médio do segmento que une
e
. Portanto a ceviana em questão é a reta que liga o vértice oposto
a esse ponto médio
.
Passo 3
Agora encontramos a equação da reta que passa por
e
. Primeiro calculamos a inclinação (coeficiente angular)
usando a fórmula
onde
e
. Então
Usamos a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta com coeficiente
que passa por
,
Tomando
e
,
Passo 4
Verificação rápida: substituindo
em
obtemos
, verdadeiro; substituindo
obtemos
, verdadeiro. Logo a reta encontrada passa por ambos os pontos como deveria.