Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a ceviana do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4) que divide o lado oposto em duas partes iguais.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que (i) passa pelo ponto (1,2) e (ii) é a ceviana de um triângulo cujos vértices são (0,0), (2,0) e (0,4), sendo que essa ceviana divide o lado oposto em duas partes iguais.
Informações relevantes dadas:
  • Vértices do triângulo: (0,0), (2,0) e (0,4).
  • Ponto dado pela reta/ceviana: (1,2).
  • A ceviana divide o lado oposto em duas partes iguais (ou seja, atinge o ponto médio do lado oposto ao vértice de onde parte).

Passo 2

Interpretando a condição “divide o lado oposto em duas partes iguais”: isso significa que o ponto (1,2) é o ponto médio de algum lado do triângulo (ou é o extremo da ceviana no lado oposto). Vamos verificar qual segmento tem como ponto médio (1,2). Usamos a fórmula do ponto médio de dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{ponto médio} = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right).é
Calculamos o ponto médio do lado que liga (2,0) e (0,4):
\left(\frac{2+0}{2},\;\frac{0+4}{2}\right)=\left(1,2\right).
Como esse resultado é exatamente (1,2), concluímos que (1,2) é o ponto médio do segmento que une (2,0) e (0,4). Portanto a ceviana em questão é a reta que liga o vértice oposto (0,0) a esse ponto médio (1,2).

Passo 3

Agora encontramos a equação da reta que passa por (0,0) e (1,2). Primeiro calculamos a inclinação (coeficiente angular) m usando a fórmula
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde (x_1,y_1)=(0,0) e (x_2,y_2)=(1,2). Então
m=\frac{2-0}{1-0}=2.
Usamos a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta com coeficiente m que passa por (x_0,y_0),
y-y_0=m(x-x_0).
Tomando (x_0,y_0)=(0,0) e m=2,
y-0=2(x-0)\quad\Rightarrow\quad y=2x.

Passo 4

Verificação rápida: substituindo (1,2) em \;y=2x\; obtemos 2=2\cdot1, verdadeiro; substituindo (0,0) obtemos 0=2\cdot0, verdadeiro. Logo a reta encontrada passa por ambos os pontos como deveria.

Resposta

y=2x

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