Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a mediana do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo e pede a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é uma mediana do triângulo. Dados fornecidos:
A=(0,0),\quad B=(2,0),\quad C=(0,4)
Pergunta: qual é a equação da reta que passa por (1,2) e que é uma mediana do triângulo formado por A,B,C?

Passo 2

Relembrando o que é uma mediana (explicação didática): uma mediana de um triângulo é o segmento que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. O ponto médio de dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado pela fórmula
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Vou calcular os pontos médios dos lados para ver em qual deles aparece (1,2).

Passo 3

Calcular o ponto médio de AB (entre A=(0,0) e B=(2,0)):
M_{AB}=\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(1,0).

Passo 4

Calcular o ponto médio de AC (entre A=(0,0) e C=(0,4)):
M_{AC}=\left(\frac{0+0}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(0,2).

Passo 5

Calcular o ponto médio de BC (entre B=(2,0) e C=(0,4)):
M_{BC}=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(1,2).
Aqui vemos explicitamente que o ponto dado (1,2) é o ponto médio do lado BC. Logo a mediana que passa por (1,2) é a mediana proveniente do vértice oposto A=(0,0), ou seja, a reta que liga A a M_{BC}.

Passo 6

Agora queremos a equação da reta que passa por A=(0,0) e por M=(1,2). Primeiro calculamos o coeficiente angular (declive) m, que mede “subida sobre corrida”:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-0}{1-0}=2.
Interpretação: para avançar 1 unidade em x sobe-se 2 unidades em y.

Passo 7

Usamos a forma ponto-declive da equação da reta (aula rápida): se uma reta tem declive m e passa por (x_0,y_0), sua equação é
y-y_0=m(x-x_0).
Tomando A=(0,0) e m=2, obtemos
y-0=2(x-0),
ou seja,
y=2x.

Passo 8

Verificação rápida (controlinho): o ponto (1,2) satisfaz \,y=2x porque 2=2\cdot1. Também a reta liga A=(0,0) ao ponto médio M=(1,2), portanto é de fato a mediana pedida.

Resposta

y=2x

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