Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a mediana do triângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo e pede a equação da reta que passa pelo ponto
e é uma mediana do triângulo. Dados fornecidos:
Pergunta: qual é a equação da reta que passa por
e que é uma mediana do triângulo formado por
?
Passo 2
Relembrando o que é uma mediana (explicação didática): uma mediana de um triângulo é o segmento que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. O ponto médio de dois pontos
e
é dado pela fórmula
Vou calcular os pontos médios dos lados para ver em qual deles aparece
.
Passo 3
Calcular o ponto médio de
(entre
e
):
Passo 4
Calcular o ponto médio de
(entre
e
):
Passo 5
Calcular o ponto médio de
(entre
e
):
Aqui vemos explicitamente que o ponto dado
é o ponto médio do lado
. Logo a mediana que passa por
é a mediana proveniente do vértice oposto
, ou seja, a reta que liga
a
.
Passo 6
Agora queremos a equação da reta que passa por
e por
. Primeiro calculamos o coeficiente angular (declive)
, que mede “subida sobre corrida”:
Interpretação: para avançar 1 unidade em
sobe-se 2 unidades em
.
Passo 7
Usamos a forma ponto-declive da equação da reta (aula rápida): se uma reta tem declive
e passa por
, sua equação é
Tomando
e
, obtemos
ou seja,
Passo 8
Verificação rápida (controlinho): o ponto
satisfaz
porque
. Também a reta liga
ao ponto médio
, portanto é de fato a mediana pedida.