Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a bissetriz do ângulo formado pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a bissetriz do ângulo formado pelas retas
e
.”
Informações dadas: a) as duas retas que formam o ângulo são e
; b) um ponto por onde a reta procurada deve passar é
.
Objetivo claro: encontrar uma reta que simultaneamente (i) seja uma bissetriz do ângulo formado pelas duas retas dadas e (ii) passe por .
Informações dadas: a) as duas retas que formam o ângulo são
Objetivo claro: encontrar uma reta que simultaneamente (i) seja uma bissetriz do ângulo formado pelas duas retas dadas e (ii) passe por
Passo 2
Reescrevemos as retas dadas em forma linear padrão
— isso facilita trabalhar com distâncias a uma reta.
Para temos a forma
Para
Para
temos a forma
Vou usar essas duas formas para achar as bissetrizes.
Passo 3
Conceito necessário (explicadinho): a bissetriz do ângulo formado por duas retas que se cruzam é o conjunto de pontos que têm a mesma distância perpendicular às duas retas. A distância de um ponto
à reta
é
Para encontrar as bissetrizes entre
e
igualamos as distâncias (com o valor absoluto), ou seja:
Como
, os denominadores são iguais e podemos simplificar para
Passo 4
Resolver a equação sem valor absoluto dá duas possibilidades (os sinais):
Caso 1: . Subtraindo
dos dois lados obtemos
, ou seja
e portanto
Caso 1:
Caso 2:
. Desenvolvendo o lado direito:
. Somando
e somando
em ambos os lados obtemos
, ou seja
Portanto as duas bissetrizes do ângulo formado por
e
são as retas
Passo 5
Agora verificamos a condição adicional: a reta procurada deve passar por
.
- Para
: o ponto tem , logo não pertence à reta . - Para
: o ponto tem , logo não pertence à reta .
Passo 6
Conclusão lógica: as únicas duas retas que são de fato bissetrizes do ângulo formado por
e
são
e
, e nenhuma delas passa pelo ponto
. Portanto não existe nenhuma reta que seja simultaneamente uma bissetriz desse ângulo e passe por
.
Resposta
Não existe tal reta; as bissetrizes são
e
, que não passam por
.