Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a bissetriz do ângulo formado pelas retas y = x e y = -x.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a bissetriz do ângulo formado pelas retas y=x e y=-x.”
Informações dadas: a) as duas retas que formam o ângulo são y=x e y=-x; b) um ponto por onde a reta procurada deve passar é (1,2).
Objetivo claro: encontrar uma reta que simultaneamente (i) seja uma bissetriz do ângulo formado pelas duas retas dadas e (ii) passe por (1,2).

Passo 2

Reescrevemos as retas dadas em forma linear padrão ax+by+c=0 — isso facilita trabalhar com distâncias a uma reta.
Para y=x temos a forma
x-y=0.
Para y=-x temos a forma
x+y=0.
Vou usar essas duas formas para achar as bissetrizes.

Passo 3

Conceito necessário (explicadinho): a bissetriz do ângulo formado por duas retas que se cruzam é o conjunto de pontos que têm a mesma distância perpendicular às duas retas. A distância de um ponto (x,y) à reta ax+by+c=0 é
\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Para encontrar as bissetrizes entre x-y=0 e x+y=0 igualamos as distâncias (com o valor absoluto), ou seja:
\frac{|x-y|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|x+y|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}.
Como \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}, os denominadores são iguais e podemos simplificar para
|x-y|=|x+y|.

Passo 4

Resolver a equação sem valor absoluto dá duas possibilidades (os sinais):
Caso 1: x-y=x+y. Subtraindo x dos dois lados obtemos -y=y, ou seja 2y=0 e portanto
y=0.
Caso 2: x-y=-(x+y). Desenvolvendo o lado direito: x-y=-x-y. Somando y e somando x em ambos os lados obtemos 2x=0, ou seja
x=0.
Portanto as duas bissetrizes do ângulo formado por y=x e y=-x são as retas
y=0\quad\text{e}\quad x=0.

Passo 5

Agora verificamos a condição adicional: a reta procurada deve passar por (1,2).
  • Para y=0: o ponto (1,2) tem y=2\neq 0, logo (1,2) não pertence à reta y=0.
  • Para x=0: o ponto (1,2) tem x=1\neq 0, logo (1,2) não pertence à reta x=0.

Passo 6

Conclusão lógica: as únicas duas retas que são de fato bissetrizes do ângulo formado por y=x e y=-x são y=0 e x=0, e nenhuma delas passa pelo ponto (1,2). Portanto não existe nenhuma reta que seja simultaneamente uma bissetriz desse ângulo e passe por (1,2).

Resposta

Não existe tal reta; as bissetrizes são y=0 e x=0, que não passam por (1,2).

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