Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é assíntota da hipérbole x^2 - y^2 = 1.

Passo 1

O enunciado pede: determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é assíntota da hipérbole x^2 - y^2 = 1.
Informações dadas:
  • A hipérbole é \;x^2 - y^2 = 1\;.
  • Queremos uma reta que passe pelo ponto \;(1,2)\; e seja uma assíntota dessa hipérbole.

Passo 2

O que é uma assíntota de uma hipérbole (de modo concreto e prático)?
  • Para uma hipérbole centrada na origem, as assíntotas são as retas que a curva se aproxima quando |x| ou |y| cresce muito.
  • Uma forma fácil de encontrar as assíntotas é escrever a equação da curva em sua forma padrão e observar o comportamento dominante quando as variáveis ficam grandes. Aqui a hipérbole já está em forma padrão.

Passo 3

Vamos achar as assíntotas da hipérbole \;x^2 - y^2 = 1\; de maneira direta.
  • Podemos escrever \;y^2 = x^2 - 1\; e então \;y = \pm\sqrt{x^2-1}\;.
  • Para |x| grande usamos a expansão aproximada (ou raciocínio assintótico): \sqrt{x^2-1}=|x|\sqrt{1-1/x^2}\approx |x|\left(1-\dfrac{1}{2x^2}+\cdots\right).
  • Assim para x\to+\infty (onde |x|=x) obtemos y\approx \pm x quando os termos menores (como 1/(2x)) são desprezíveis.
    Portanto as retas assíntotas são
y = x
e
y = -x.

Passo 4

Um ponto importante (aula rápida e útil): centro da hipérbole e passagem das assíntotas.
  • A hipérbole \;x^2 - y^2 = 1\; é centrada na origem (0,0).
  • Para uma hipérbole centrada na origem, as assíntotas passam pelo centro. Logo as assíntotas devem passar por (0,0).
  • Consequência prática: qualquer assíntota desta hipérbole é uma reta que passa por (0,0).

Passo 5

Agora verificamos se alguma das assíntotas encontradas passa pelo ponto pedido (1,2).
  • Teste em y=x: substituindo (1,2) 2 = 1? Não, é falso.
  • Teste em y=-x: substituindo (1,2) 2 = -1? Também falso.
    Como as únicas assíntotas da hipérbole são y=x e y=-x e nenhuma delas passa por (1,2), não existe reta assíntota da hipérbole que contenha o ponto (1,2).

Passo 6

Conclusão e comentário amigo:
  • A equação da(s) assíntota(s) da hipérbole são y=x e y=-x.
  • Mas como as assíntotas passam pelo centro (0,0) e (1,2)\neq(0,0), nenhuma assíntota passa por (1,2).
  • Portanto a pergunta tem resposta negativa: não existe reta assíntota da hipérbole \;x^2-y^2=1\; que passe por (1,2). Respira, está tudo certo — é uma resposta aceitável e muitas vezes as provas querem exatamente que você perceba essa impossibilidade.

Resposta

Não existe reta assíntota da hipérbole \;x^2-y^2=1\; que passe por (1,2).

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