Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é assíntota da hipérbole
.
Passo 1
O enunciado pede: determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é assíntota da hipérbole
Informações dadas:
- A hipérbole é
. - Queremos uma reta que passe pelo ponto
e seja uma assíntota dessa hipérbole.
Passo 2
O que é uma assíntota de uma hipérbole (de modo concreto e prático)?
- Para uma hipérbole centrada na origem, as assíntotas são as retas que a curva se aproxima quando
ou cresce muito. - Uma forma fácil de encontrar as assíntotas é escrever a equação da curva em sua forma padrão e observar o comportamento dominante quando as variáveis ficam grandes. Aqui a hipérbole já está em forma padrão.
Passo 3
Vamos achar as assíntotas da hipérbole
de maneira direta.
- Podemos escrever
e então . - Para
grande usamos a expansão aproximada (ou raciocínio assintótico): . - Assim para
(onde ) obtemos quando os termos menores (como ) são desprezíveis.
Portanto as retas assíntotas são
e
Passo 4
Um ponto importante (aula rápida e útil): centro da hipérbole e passagem das assíntotas.
- A hipérbole
é centrada na origem . - Para uma hipérbole centrada na origem, as assíntotas passam pelo centro. Logo as assíntotas devem passar por
. - Consequência prática: qualquer assíntota desta hipérbole é uma reta que passa por
.
Passo 5
Agora verificamos se alguma das assíntotas encontradas passa pelo ponto pedido
.
- Teste em
: substituindo dá ? Não, é falso. - Teste em
: substituindo dá ? Também falso.
Como as únicas assíntotas da hipérbole sãoe e nenhuma delas passa por , não existe reta assíntota da hipérbole que contenha o ponto .
Passo 6
Conclusão e comentário amigo:
- A equação da(s) assíntota(s) da hipérbole são
e . - Mas como as assíntotas passam pelo centro
e , nenhuma assíntota passa por . - Portanto a pergunta tem resposta negativa: não existe reta assíntota da hipérbole
que passe por . Respira, está tudo certo — é uma resposta aceitável e muitas vezes as provas querem exatamente que você perceba essa impossibilidade.
Resposta
Não existe reta assíntota da hipérbole
que passe por
.