Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é diretriz da parábola y = x^2.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma reta que satisfaça duas coisas ao mesmo tempo: (i) passe pelo ponto (1,2) e (ii) seja diretriz da parábola y=x^2.
Informações dadas: o ponto (1,2) e a parábola y=x^2. A pergunta é única: qual é a reta que passa por (1,2) e é diretriz dessa parábola?

Passo 2

Vou explicar o que é a diretriz de uma parábola e como encontrá‑la no caso de y=x^2, passo a passo e com calma.
Definição e fórmula padrão: uma parábola que tem vértice na origem e eixo vertical pode ser escrita na forma
x^2 = 4p\,y,
onde p é a distância do vértice ao foco (positiva se o foco está acima do vértice). Para essa forma temos:
  • foco: (0,p),
  • diretriz: a reta horizontal \;y = -p.

Passo 3

Agora aplicamos isso à parábola dada y=x^2. Reescrevemos como
x^2 = y.
Comparando com x^2 = 4p\,y, vemos que 4p = 1. Portanto
p = \tfrac{1}{4}.
Com isso podemos obter foco e diretriz:
  • foco: (0,\tfrac{1}{4}),
  • diretriz: \;y = -\tfrac{1}{4}.

Passo 4

A diretriz da parábola y=x^2 é uma reta fixa e única: \;y = -\tfrac{1}{4}. Agora verifico se essa reta passa pelo ponto pedido (1,2). Uma reta horizontal y=-\tfrac{1}{4} tem coordenada y=-\tfrac{1}{4} para todos os seus pontos; mas o ponto dado tem coordenada y=2. Como 2 \neq -\tfrac{1}{4}, o ponto (1,2) não pertence à diretriz.

Passo 5

Conclusão lógica: como a parábola y=x^2 tem uma única diretriz ( y=-\tfrac{1}{4}) e essa reta não passa por (1,2), não existe nenhuma reta que simultaneamente passe por (1,2) e seja diretriz da parábola y=x^2.

Resposta

Não existe reta; a diretriz de y=x^2 é y=-\tfrac{1}{4}, que não passa por (1,2).

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