Determine a equação da reta que passa pelo ponto (0,0) e é perpendicular à reta y = 2x + 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (0,0) e é perpendicular à reta dada.
  • Dado: a reta dada é y=2x+1.
  • Informação importante extra (da reta dada): o coeficiente angular (inclinação) da reta dada é 2.

Passo 2

Entendendo inclinação (coeficiente angular): numa reta escrita na forma y=mx+b, o número m é a inclinação da reta (também chamada coeficiente angular). Ele dá a variação de y quando x aumenta de uma unidade: se m=2, ao subir 1 em x sobe-se 2 em y.
  • Aplicando ao nosso caso: a reta dada y=2x+1 tem inclinação m_{\text{dada}}=2.

Passo 3

Regra de retas perpendiculares (explicação didática): para duas retas não verticais, se elas são perpendiculares então seus coeficientes angulares m_1 e m_2 satisfazem
m_1\cdot m_2=-1.
Intuição curta: inclinações são tangentes de ângulos; um ângulo perpendicular difere em 90^\circ e isso transforma a tangente em seu negativo recíproco, logo o produto é -1.
  • Assim, se a reta dada tem m_{\text{dada}}=2, a inclinação da reta perpendicular será
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{\text{dada}}}=-\frac{1}{2}.

Passo 4

Equação da reta a partir de um ponto e de uma inclinação (fórmula e aplicação): a forma ponto-inclinação diz que a reta com inclinação m que passa por (x_0,y_0) é
y-y_0=m(x-x_0).
  • No nosso problema temos m=m_{\perp}=-\tfrac{1}{2} e o ponto (x_0,y_0)=(0,0). Substituindo:
y-0=-\tfrac{1}{2}(x-0).
  • Simplificando obtemos
y=-\tfrac{1}{2}x.

Passo 5

Verificação rápida (sanidade): a reta y=-\tfrac{1}{2}x passa por (0,0) (substituindo x=0 y=0) e seu coeficiente angular é -\tfrac{1}{2}. Produto das inclinações com a reta dada é 2\cdot(-\tfrac{1}{2})=-1, logo são perpendiculares. Tudo correto!

Resposta

y=-\dfrac{1}{2}x

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