Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é o eixo radical das circunferências x^2 + y^2 = 1 e (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1.

Passo 1

O enunciado dá duas circunferências e um ponto. Precisamos determinar a reta que (1) passa pelo ponto (1,2) e (2) é o eixo radical das duas circunferências. As informações fornecidas são:
\text{Circunferência 1: } x^2+y^2=1,ê
\text{Circunferência 2: } (x-1)^2+(y-1)^2=1,ê
e o ponto (1,2). A pergunta é: qual é a equação da reta que passa por (1,2) e que é o eixo radical dessas duas circunferências?

Passo 2

O que é o eixo radical (explicação didática)? O eixo radical de duas circunferências é o conjunto de pontos cuja potência em relação às duas circunferências é a mesma. Uma maneira prática de achar essa reta é subtrair as equações das circunferências: ao eliminar os termos quadráticos comuns em x^2 e y^2 obtemos uma equação linear que representa o eixo radical. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrevemos as duas equações e subtraímos a primeira da segunda (ou vice‑versa). Vou subtrair a primeira da segunda:
(x-1)^2+(y-1)^2 - \bigl(x^2+y^2\bigr)=1-1=0.
Agora expando cada quadrado com calma:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1,
(y-1)^2 = y^2 - 2y + 1.
Substituindo na subtração:
\bigl(x^2 - 2x + 1\bigr) + \bigl(y^2 - 2y + 1\bigr) - \bigl(x^2 + y^2\bigr) = 0.

Passo 4

Cancelei termos iguais e simplifiquei cuidadosamente:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 - x^2 - y^2 = 0
os x^2 e y^2 se anulam, sobrando
-2x - 2y + 2 = 0.
Dividindo ambos os lados por -2 (para simplificar):
x + y - 1 = 0.
Então o eixo radical é a reta de equação
\boxed{x + y = 1}.
Comentando a forma: esta reta tem coeficiente angular -1 (ou seja, declive -1) e intercepto em y igual a 1.

Passo 5

Agora verifico se o ponto dado (1,2) pertence a essa reta, porque o enunciado pede a reta que passe por (1,2) e seja o eixo radical. Substituo x=1 e y=2 em x+y-1:
1 + 2 - 1 = 2 \neq 0.
Portanto (1,2) NÃO satisfaz a equação x+y-1=0.

Passo 6

Conclusão lógica: o eixo radical das duas circunferências é único e é a reta x+y=1. Como (1,2) não está nessa reta, não existe nenhuma reta que simultaneamente passe por (1,2) e seja o eixo radical das duas circunferências dadas. Ou seja, a condição “passa por (1,2)” é incompatível com as circunferências fornecidas.

Resposta

Eixo radical: x+y=1.
Não existe reta que passe por (1,2) e seja o eixo radical dessas circunferências.

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