Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é o eixo radical das circunferências
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas circunferências e um ponto. Precisamos determinar a reta que (1) passa pelo ponto
e (2) é o eixo radical das duas circunferências. As informações fornecidas são:
e o ponto
. A pergunta é: qual é a equação da reta que passa por
e que é o eixo radical dessas duas circunferências?
Passo 2
O que é o eixo radical (explicação didática)? O eixo radical de duas circunferências é o conjunto de pontos cuja potência em relação às duas circunferências é a mesma. Uma maneira prática de achar essa reta é subtrair as equações das circunferências: ao eliminar os termos quadráticos comuns em
e
obtemos uma equação linear que representa o eixo radical. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escrevemos as duas equações e subtraímos a primeira da segunda (ou vice‑versa). Vou subtrair a primeira da segunda:
Agora expando cada quadrado com calma:
Substituindo na subtração:
Passo 4
Cancelei termos iguais e simplifiquei cuidadosamente:
os
e
se anulam, sobrando
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar):
Então o eixo radical é a reta de equação
Comentando a forma: esta reta tem coeficiente angular
(ou seja, declive
) e intercepto em
igual a
.
Passo 5
Agora verifico se o ponto dado
pertence a essa reta, porque o enunciado pede a reta que passe por
e seja o eixo radical. Substituo
e
em
:
Portanto
NÃO satisfaz a equação
.
Passo 6
Conclusão lógica: o eixo radical das duas circunferências é único e é a reta
. Como
não está nessa reta, não existe nenhuma reta que simultaneamente passe por
e seja o eixo radical das duas circunferências dadas. Ou seja, a condição “passa por
” é incompatível com as circunferências fornecidas.
Resposta
Eixo radical:
.
Não existe reta que passe por e seja o eixo radical dessas circunferências.
Não existe reta que passe por