A estrutura da plataforma tem peso de 250 lb e centro de gravidade em \mathrm{G}_{1} e deve ser capaz de sustentar uma carga máxima de 400 lb colocada no ponto \mathrm{G}_{2}. Determine o menor contrapeso W que deve ser colocado emB para evitar que a plataforma tombe.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor contrapeso W que deve ser colocado em B para evitar que a plataforma tombe quando suporta sua própria massa de 250\\ \text{lb} com centro de gravidade em \mathrm{G}_1 e uma carga máxima de 400\\ \text{lb} colocada em \mathrm{G}_2. Informações explícitas dadas no enunciado:
\text{peso da plataforma} = 250\\ \text{lb at } \mathrm{G}_1, \qquad \text{carga máxima} = 400\\ \text{lb at } \mathrm{G}_2, \qquad \text{contrapeso} = W \text{ a ser colocado em } B.á
Observação importante: o enunciado refere-se a pontos geométricos ( \mathrm{G}_1,\mathrm{G}_2,B) e provavelmente depende de distâncias entre esses pontos e da aresta de apoio (ponto sobre o qual a plataforma pode tombar). Essas distâncias (por exemplo, distância de \mathrm{G}_1 até o ponto de tombamento, distância de \mathrm{G}_2 até o ponto de tombamento, e distância de W até o ponto de tombamento) NÃO foram fornecidas no texto que você me enviou e não foi enviada imagem/figura. Como essas distâncias são essenciais para um valor numérico, não é possível calcular um valor numérico final sem a figura ou as medidas.

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): o que significa “evitar que a plataforma tombe”. Quando uma plataforma está prestes a tombar, a reação de apoio (a força de contato com o chão) se desloca até a aresta/pivô do apoio e o equilíbrio rotacional passa a ser feito em torno dessa aresta. Ou seja, para o estado de equilíbrio limite (impending tipping), a soma dos momentos (torques) em torno do ponto de tombamento deve ser zero. Se o momento que tende a tombar (no sentido horário, por exemplo) for maior que o momento que resiste ao tombamento (sentido anti-horário), a plataforma vai tombar; então, para evitar o tombamento precisamos que o momento do contrapeso compense os momentos que tendem a virar a plataforma.
Explicando “momento” de forma simples: o momento gerado por uma força é o produto da força pela distância perpendicular da linha de ação dessa força ao ponto de rotação. Em notação: o momento produzido por uma força F a uma distância d do ponto de rotação é
\text{momento} = F\cdot d.
Todas as forças peso atuam verticalmente para baixo; então, as distâncias relevantes são horizontais (perpendiculares ao peso) até o ponto de tombamento.

Passo 3

Definição das variáveis geométricas que precisamos obter da figura (ou dos dados que faltam). Vou nomear claramente para você saber o que medir na figura da sua prova:
d_{G1} = \text{distância horizontal do ponto de tombamento até } \mathrm{G}_1,âé
d_{G2} = \text{distância horizontal do ponto de tombamento até } \mathrm{G}_2,âé
d_W = \text{distância horizontal do ponto de tombamento até o ponto } B \text{ onde } W \text{ é colocado.}âéé
Observação: “distância horizontal” significa a distância perpendicular à linha de ação dos pesos (isto é, medida ao longo da plataforma entre o ponto de rotação e cada centro de gravidade). Na figura da prova essas distâncias normalmente são dadas em pés (ou polegadas); preserve a unidade ao calcular.

Passo 4

Montagem da equação de equilíbrio de momentos (passo a passo). Escolhemos o ponto de tombamento como origem de momentos (é o ponto natural porque, quando a plataforma está para tombar, a reação no apoio reduz a zero no outro lado e o pivô efetivo fica na aresta). Adotemos orientação: momentos que tendem a tombar no sentido horário como positivos e os que resistem (anti-horário) como negativos — o importante é consistência.
As forças que produzem momento são:
  • peso da plataforma: 250\\ \text{lb} aplicad o em \mathrm{G}_1 produz momento 250\cdot d_{G1};
  • carga na \mathrm{G}_2: 400\\ \text{lb} produz momento 400\cdot d_{G2};
  • contrapeso W em B: produz momento W\cdot d_W no sentido oposto aos outros (este é o que resiste ao tombamento).
Condição de equilíbrio limite (impending tipping):
\text{soma dos momentos que tendem a tombar} = \text{soma dos momentos que resistem ao tombamento}.
Se os dois pesos (plataforma e carga) tendem a tombar no mesmo sentido e W atua no sentido oposto, então a equação é
W\cdot d_W = 250\cdot d_{G1} + 400\cdot d_{G2}.
Obs.: se na sua figura alguma força estiver do outro lado do pivô (ou seja, produz momento no mesmo sentido que W), troque os sinais adequadamente. O procedimento é sempre somar momentos de cada lado e igualá-los.

Passo 5

Isolando W (a fórmula que você vai usar na prova). A partir da equação do Passo 4, resolvemos para W:
W = \dfrac{250\cdot d_{G1} + 400\cdot d_{G2}}{d_W}.
Esta é a expressão geral e exata para o menor contrapeso W que zera o momento resultante no ponto de tombamento (ou seja, o mínimo para impedir o tombamento). Explicando as unidades: se as distâncias d_{G1},d_{G2},d_W estiverem em pés e forças em libras, W sairá em libras, que é consistente.

Passo 6

Casos especiais e checagens rápidas (o que olhar na figura da prova):
  • Se d_W=0 (ou seja, o contrapeso é colocado exatamente sobre o ponto de tombamento), então W teria que ser infinito para gerar momento — na prática, impossível. Conclusão: o contrapeso deve ser deslocado do pivô para ser eficaz.
  • Se a soma 250\cdot d_{G1}+400\cdot d_{G2}=0 (situação improvável), então W=0, ou seja, não é necessário contrapeso.
  • Sempre confira o sentido dos momentos: se o contrapeso e alguma das cargas estiverem no mesmo lado do pivô, refaça a separação de sinais.
  • Verifique unidades e converta para a mesma unidade antes de usar a fórmula.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para você entender como calcular quando tiver as distâncias): suponha que, na figura, d_{G1}=1{,}5\\ \text{ft}, d_{G2}=3{,}0\\ \text{ft} e d_W=2{,}0\\ \text{ft}. Substituindo na fórmula:
W = \dfrac{250\cdot 1{,}5 + 400\cdot 3{,}0}{2{,}0} = \dfrac{375 + 1200}{2{,}0} = \dfrac{1575}{2{,}0} = 787{,}5\\ \text{lb}.
Isto mostra o procedimento prático: multiplica cada peso pela sua distância ao pivô, soma e divide pela distância do contrapeso ao pivô.

Passo 8

Como proceder na prova (resumindo o passo-a-passo prático): (1) identifique o ponto de tombamento na figura; (2) meça (ou leia) d_{G1},d_{G2},d_W como distâncias perpendiculares ao peso até esse ponto; (3) aplique a fórmula do Passo 5; (4) cheque sinais e unidades; (5) interprete o resultado (se W negativo, indica que o contrapeso deveria estar do outro lado etc.).

Resposta

W = \dfrac{250\cdot d_{G1} + 400\cdot d_{G2}}{d_W}
Não é possível fornecer um valor numérico porque as distâncias d_{G1}, d_{G2} e d_W (medidas a partir do ponto de tombamento) não foram fornecidas na figura/enunciado que você enviou.

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