Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é paralela à reta 2x+3y=4

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é paralela à reta 2x+3y=4".\n
Informações dadas: \n
  • A reta conhecida é 2x+3y=4.\n
  • O ponto por onde a nova reta deve passar é (1,2).\n
    Pergunta clara: encontrar a equação da reta que passa por (1,2) e é paralela à reta dada.

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma bem direta): retas paralelas no plano têm o mesmo coeficiente angular (mesmo “inclinação”) quando escritas na forma y=mx+b. Outra forma prática: na forma padrão Ax+By=C, retas paralelas têm o mesmo par (A,B) (ou seja, os mesmos coeficientes de x e y), apenas o termo independente C muda. Vou usar os dois pontos de vista para ficar bem claro.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular (a inclinação) da reta dada para entender o que queremos preservar.\n
Primeiro isolamos y em 2x+3y=4:\n
3y = -2x + 4\n
y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}\n
Assim o coeficiente angular (inclinação) é m=-\frac{2}{3}. Isso significa que a reta que queremos terá também m=-\frac{2}{3}.

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação (fórmula prática para reta passando por um ponto):\n
y - y_0 = m(x - x_0)\n
onde (x_0,y_0) é o ponto dado e m é a inclinação. Aqui (x_0,y_0)=(1,2) e m=-\frac{2}{3}. Substituindo:\n
y - 2 = -\frac{2}{3}\bigl(x - 1\bigr)

Passo 5

Desenvolver a conta para obter a forma y=mx+b (explico passo a passo para você poder refazer na prova):\n
Primeiro distribuo o -\frac{2}{3}:\n
y - 2 = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\n
Agora isolo y somando 2 aos dois lados (lembrando que 2 = \frac{6}{3}):\n
y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + 2\n
y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{6}{3}\n
y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3}

Passo 6

Se preferir a forma padrão Ax+By=C (às vezes exigida em provas), multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar denominadores:\n
3y = -2x + 8\n
e então reorganizamos para deixar os termos x e y à esquerda:\n
2x + 3y = 8

Passo 7

Conferência rápida: a nova reta tem os mesmos coeficientes de x e y que a dada ( 2 e 3), portanto é paralela; e passando por (1,2) porque substituindo x=1, y=2 obtemos 2\cdot 1 + 3\cdot 2 = 2 + 6 = 8, que satisfaz a equação.

Resposta

2x+3y=8\n
y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}

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