Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(1,2,-1) e é paralela ao vetor V=(2,-1,3). Determine também a distância do ponto Q(3,1,0) ao plano 2 x-y+z=4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A equação da reta que passa por P(1,2,-1) e é paralela ao vetor V=(2,-1,3). Aqui usamos o conceito de forma paramétrica e simétrica de uma reta em R^3.
  2. A distância do ponto Q(3,1,0) ao plano dado por 2x - y + z = 4. Para isso aplicamos a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para a reta usamos a forma vetorial
onde
Em forma simétrica, eliminando o parâmetro (t]:

Passo 3

A distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano ax+by+cz = d é dada por
dist = l|a,x0 + b,y0 + c,z0 - dr|raiza^2 + b^2 + c^2
No nosso caso, (x0,y0,z0) = (3,1,0) e o plano é 2x - y + z = 4, logo a=2, b=-1, c=1 e d=4.

Passo 4

Calculamos o numerador e o denominador:
l|2cdot 3 + (-1)cdot 1 + 1cdot 0 - 4r| = l|6 - 1 + 0 - 4r| = l|1r| = 1,
raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Portanto a distância é
dist = 1raiz6

Resposta

Equação da reta:
x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = -1 + 3t ou x-12 = y-2-1 = z+13
Distância do ponto Q ao plano:
1raiz6

Exercícios relacionados