Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (2,3) e pelo ponto Q.Simétrico de P em relação à origem. (Utilize a regra de sarrus e obtenha a equação mas simples possível).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P (2,3) e pelo ponto Q, que é o simétrico de P em relação à origem. Para isso, vamos usar a regra de Sarrus, que ajuda a calcular determinantes e facilita encontrar a equação da reta de maneira mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto Q, que é o simétrico de P em relação à origem. Isso significa que a gente inverte os sinais das coordenadas de P. Então, se P = (2, 3), o simétrico Q será (-2, -3).
Passo 3
Agora que temos os dois pontos pela qual a reta passa (P (2,3) e Q (-2,-3)), podemos usar a fórmula da equação geral da reta, que é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C que satisfazem essa equação para os pontos P e Q.
Passo 4
Vamos substituir as coordenadas do ponto P (2,3) na equação geral:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos as coordenadas do ponto Q (-2,-3) na mesma equação:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
-
\quad (Equação 1) -
\quad (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de A, B e C.
Passo 7
Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para eliminar C:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 8
Vamos resolver a Equação 3 para uma das variáveis. Vamos escolher A:
Podemos escolher um valor para B para facilitar. Vamos supor que B = 2:
Passo 9
Agora que temos A = -3 e B = 2, vamos substituir na Equação 1 para encontrar C:
Passo 10
Com os valores encontrados:
A equação da reta fica:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para deixar a equação mais simples:
Resposta
A equação da reta é $ 3x - 2y = 0 $.