Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (2,3) e pelo ponto Q.Simétrico de P em relação à origem. (Utilize a regra de sarrus e obtenha a equação mas simples possível).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P (2,3) e pelo ponto Q, que é o simétrico de P em relação à origem. Para isso, vamos usar a regra de Sarrus, que ajuda a calcular determinantes e facilita encontrar a equação da reta de maneira mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto Q, que é o simétrico de P em relação à origem. Isso significa que a gente inverte os sinais das coordenadas de P. Então, se P = (2, 3), o simétrico Q será (-2, -3).

Passo 3

Agora que temos os dois pontos pela qual a reta passa (P (2,3) e Q (-2,-3)), podemos usar a fórmula da equação geral da reta, que é:
Ax + By + C = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C que satisfazem essa equação para os pontos P e Q.

Passo 4

Vamos substituir as coordenadas do ponto P (2,3) na equação geral:
A(2) + B(3) + C = 0
Isso simplifica para:
2A + 3B + C = 0 (Equação 1) çã

Passo 5

Agora, substituímos as coordenadas do ponto Q (-2,-3) na mesma equação:
A(-2) + B(-3) + C = 0
Simplificando, temos:
-2A - 3B + C = 0 (Equação 2) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
  1. 2A + 3B + C = 0 \quad (Equação 1)
  2. -2A - 3B + C = 0 \quad (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de A, B e C.

Passo 7

Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para eliminar C:
(2A + 3B + C) - (-2A - 3B + C) = 0 - 0
4A + 6B = 0
Podemos simplificar dividindo por 2:
2A + 3B = 0 (Equação 3) çã

Passo 8

Vamos resolver a Equação 3 para uma das variáveis. Vamos escolher A:
2A + 3B = 0
2A = -3B
A = -32B
Podemos escolher um valor para B para facilitar. Vamos supor que B = 2:
A = -32 times 2 = -3

Passo 9

Agora que temos A = -3 e B = 2, vamos substituir na Equação 1 para encontrar C:
2(-3) + 3(2) + C = 0
-6 + 6 + C = 0
C = 0

Passo 10

Com os valores encontrados:
A = -3, B = 2, C = 0
A equação da reta fica:
-3x + 2y = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para deixar a equação mais simples:
3x - 2y = 0

Resposta

A equação da reta é $ 3x - 2y = 0 $.

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