Considere a função f(x) = ln(x) - 3x² + 5 e o intervalo I [1,325 ; 1,328]. Utilize o método da bissecção para calcular a raiz, com quatro casas decimais com erro e < 0,0002.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo f(x) = ln(x) - 3x^2 + 5 usando o método da bissecção. Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, mais especificamente sobre métodos para encontrar raízes de funções. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método da bissecção e aplicar esse processo passo a passo até chegar na raiz com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir repetidamente o intervalo onde sabemos que a função muda de sinal (ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa) até isolar a raiz com a precisão desejada.

Passo 3

Para começar, precisamos verificar se a função realmente muda de sinal no intervalo dado [1.325, 1.328]. Vamos calcular $ f(1.325) $ e $ f(1.328) $:
f(1.325)
f(1.328)
f(1.325) = ln(1.325) - 3(1.325)^2 + 5
f(1.325) approx 0.281 - 5.268 + 5 = 0.013
Como $ f(1.325) > 0 $ e $ f(1.328) < 0 $, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O primeiro passo é calcular o ponto médio do intervalo:
c = 1.325 + 1.3282 = 1.3265
Calculamos $ f(1.3265) $:
f(1.3265)
f(1.3265) = ln(1.3265) - 3(1.3265)^2 + 5
Como $ f(1.3265) > 0 $, a raiz está entre $ 1.3265 $ e $ 1.328 $.

Passo 5

Vamos repetir o processo com o novo intervalo [1.3265, 1.328]. Calculamos o ponto médio:
c = 1.3265 + 1.3282 = 1.32725
Calculamos $ f(1.32725) $:
f(1.32725)
f(1.32725) = ln(1.32725) - 3(1.32725)^2 + 5
Agora, $ f(1.32725) < 0 $, então a raiz está entre $ 1.3265 $ e $ 1.32725 $.

Passo 6

Continuamos o processo com o intervalo [1.3265, 1.32725]. Calculamos o ponto médio:
c = 1.3265 + 1.327252 = 1.326875
Calculamos $ f(1.326875) $:
f(1.326875)
f(1.326875) = ln(1.326875) - 3(1.326875)^2 + 5
Como $ f(1.326875) > 0 $, a raiz está entre $ 1.326875 $ e $ 1.32725 $.

Passo 7

Mais uma iteração com o intervalo [1.326875, 1.32725]. Calculamos o ponto médio:
c = 1.326875 + 1.327252 = 1.3270625
Calculamos $ f(1.3270625) $:
f(1.3270625)
f(1.3270625) = ln(1.3270625) - 3(1.3270625)^2 + 5
Como $ f(1.3270625) < 0 $, a raiz está entre $ 1.326875 $ e $ 1.3270625 $.

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o ponto médio do intervalo [1.326875, 1.3270625]:
c = 1.326875 + 1.32706252 = 1.32696875
Calculamos $ f(1.32696875) $:
f(1.32696875)
f(1.32696875) = ln(1.32696875) - 3(1.32696875)^2 + 5
Agora, a diferença entre os limites do intervalo é:
f(1.32696875) approx 0.283625 - 5.28325 + 5 = 0.000375

Resposta

A raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo f(x) = ln(x) - 3x^2 + 5 é aproximadamente $ x = 1.3269 $.

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