Considere a função f(x) = ln(x) - 3x² + 5 e o intervalo I [1,325 ; 1,328]. Utilize o método da bissecção para calcular a raiz, com quatro casas decimais com erro e < 0,0002.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo
usando o método da bissecção. Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, mais especificamente sobre métodos para encontrar raízes de funções. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método da bissecção e aplicar esse processo passo a passo até chegar na raiz com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir repetidamente o intervalo onde sabemos que a função muda de sinal (ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa) até isolar a raiz com a precisão desejada.
Passo 3
Para começar, precisamos verificar se a função realmente muda de sinal no intervalo dado
. Vamos calcular $ f(1.325) $ e $ f(1.328) $:
Como $ f(1.325) > 0 $ e $ f(1.328) < 0 $, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O primeiro passo é calcular o ponto médio do intervalo:
Calculamos $ f(1.3265) $:
Como $ f(1.3265) > 0 $, a raiz está entre $ 1.3265 $ e $ 1.328 $.
Passo 5
Vamos repetir o processo com o novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos $ f(1.32725) $:
Agora, $ f(1.32725) < 0 $, então a raiz está entre $ 1.3265 $ e $ 1.32725 $.
Passo 6
Continuamos o processo com o intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos $ f(1.326875) $:
Como $ f(1.326875) > 0 $, a raiz está entre $ 1.326875 $ e $ 1.32725 $.
Passo 7
Mais uma iteração com o intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos $ f(1.3270625) $:
Como $ f(1.3270625) < 0 $, a raiz está entre $ 1.326875 $ e $ 1.3270625 $.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o ponto médio do intervalo
:
Calculamos $ f(1.32696875) $:
Agora, a diferença entre os limites do intervalo é:
Resposta
A raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo
é aproximadamente $ x = 1.3269 $.