Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é tangente à parábola y=x^2 no ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que (1) passa pelo ponto (1,2) e (2) é tangente à parábola \,y=x^2 no ponto (1,1).
Informações dadas: a parábola \,y=x^2, o ponto onde a reta deve passar (1,2) e o ponto de tangência especificado (1,1). A missão é achar a equação da reta que satisfaça essas duas condições simultaneamente.

Passo 2

O que significa “reta tangente à parábola em (1,1)”?
Uma reta tangente a uma curva num ponto tem a mesma inclinação (mesma derivada) da curva naquele ponto. Para uma função y=f(x), a inclinação da tangente em x=x_0 é dada pela derivada f'(x_0). Então, para achar a reta tangente em (1,1) precisamos calcular a derivada de y=x^2 e avaliá‑la em x=1.

Passo 3

Calcule a derivada de y=x^2.
A derivada é
\frac{dy}{dx}=2x.
Aqui x é a variável independente; 2x dá a inclinação da curva em qualquer ponto de abscissa x.

Passo 4

Avalie a derivada em x=1 para obter a inclinação m da tangente em (1,1):
m = 2\cdot 1 = 2.
Portanto a reta tangente em (1,1) tem inclinação 2.

Passo 5

Use a forma ponto‑inclinação da equação da reta: para uma reta de inclinação m passando por (x_0,y_0) vale
y-y_0 = m(x-x_0).
Aplicando com m=2 e (x_0,y_0)=(1,1) obtemos
y-1 = 2(x-1).
Simplificando:
y = 2x-1.
Essa é a reta tangente à parábola no ponto (1,1).

Passo 6

Verifique se essa reta passa por (1,2). Substitua x=1 na equação y=2x-1:
y=2\cdot 1-1=1.
O ponto correspondente é (1,1), não (1,2). Logo a reta tangente em (1,1) não passa por (1,2).

Passo 7

Conclusão lógica: a reta tangente em (1,1) é única (já que a derivada em um ponto determina uma única inclinação) e essa reta não passa por (1,2). Portanto não existe nenhuma reta que simultaneamente (i) seja tangente à parábola y=x^2 no ponto (1,1) e (ii) passe pelo ponto (1,2).

Resposta

Não existe reta que passe por (1,2) e seja tangente à parábola \,y=x^2 no ponto (1,1).

Exercícios relacionados