Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é tangente à parábola
no ponto
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta que (1) passa pelo ponto
e (2) é tangente à parábola
no ponto
.
Informações dadas: a parábola , o ponto onde a reta deve passar
e o ponto de tangência especificado
. A missão é achar a equação da reta que satisfaça essas duas condições simultaneamente.
Informações dadas: a parábola
Passo 2
O que significa “reta tangente à parábola em
”?
Uma reta tangente a uma curva num ponto tem a mesma inclinação (mesma derivada) da curva naquele ponto. Para uma função , a inclinação da tangente em
é dada pela derivada
. Então, para achar a reta tangente em
precisamos calcular a derivada de
e avaliá‑la em
.
Uma reta tangente a uma curva num ponto tem a mesma inclinação (mesma derivada) da curva naquele ponto. Para uma função
Passo 3
Calcule a derivada de
.
A derivada é
A derivada é
Aqui
é a variável independente;
dá a inclinação da curva em qualquer ponto de abscissa
.
Passo 4
Avalie a derivada em
para obter a inclinação
da tangente em
:
Portanto a reta tangente em
tem inclinação
.
Passo 5
Use a forma ponto‑inclinação da equação da reta: para uma reta de inclinação
passando por
vale
Aplicando com
e
obtemos
Simplificando:
Essa é a reta tangente à parábola no ponto
.
Passo 6
Verifique se essa reta passa por
. Substitua
na equação
:
O ponto correspondente é
, não
. Logo a reta tangente em
não passa por
.
Passo 7
Conclusão lógica: a reta tangente em
é única (já que a derivada em um ponto determina uma única inclinação) e essa reta não passa por
. Portanto não existe nenhuma reta que simultaneamente (i) seja tangente à parábola
no ponto
e (ii) passe pelo ponto
.
Resposta
Não existe reta que passe por
e seja tangente à parábola
no ponto
.