Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta BC.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta BC.”
Informações visíveis na figura (que eu usei para entender o problema): há três pontos marcados A, B e C; a reta BC é a reta que une B a C; queremos a reta que passa por A e é paralela a essa reta BC.
Observação importante sobre a figura: a imagem enviada mostra a disposição geométrica dos pontos e algumas distâncias, mas não fornece coordenadas numéricas claras (por exemplo, não temos valores de x_A,y_A,x_B,y_B,x_C,y_C em um sistema de coordenadas). Portanto, não é possível obter uma equação numérica única do tipo y = mx + b com números explícitos sem assumir ou inventar coordenadas. Vou então explicar passo a passo como obter a equação em termos das coordenadas dos pontos e tratar o caso especial (reta vertical), para que você possa aplicar direto se tiver as coordenadas em sala/prova.

Passo 2

Conceito-chave: inclinação (coeficiente angular) de uma reta.
  • Se conhecermos as coordenadas de dois pontos P_1=(x_1,y_1) e P_2=(x_2,y_2) distintos, a inclinação (ou coeficiente angular) m da reta que passa por esses pontos é dada por:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
  • O que essa fórmula faz: ela mede “quanto a reta sobe” ( y_2-y_1) para cada unidade que anda para a direita ( x_2-x_1).
  • No nosso caso, para a reta BC a inclinação é
m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}.
  • Atenção ao caso em que x_C=x_B: aí o denominador é zero e a reta BC é vertical; isso merece tratamento separado (veja Passo 5).

Passo 3

Fórmula da reta paralela passando por um ponto: ponto-declive (point-slope).
  • Se queremos a reta que passa por um ponto A=(x_A,y_A) e tem inclinação m, a equação ponto-declive é
y-y_A = m\,(x-x_A).
  • Essa é a fórmula que usamos na prova porque é direta e evita cálculos extras: basta conhecer m e as coordenadas de A.
  • Aplicando ao nosso caso com m=m_{BC} obtemos a equação da reta procurada:
y-y_A = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\,(x-x_A),
desde que x_C\neq x_B.

Passo 4

Interpretação e simplificação (como transformar em forma y=mx+b se quiser):
  • A equação do Passo 3 já é uma equação completa; se quiser a forma explicita y= m x + b, basta desenvolver:
y = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\,x +\left(y_A - \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\,x_A\right).
  • Aqui o termo entre parênteses é o coeficiente linear b (intercepto com o eixo y). Em prova, normalmente deixe na forma ponto-declive se for mais simples.

Passo 5

Caso especial: reta BC vertical.
  • Se x_C = x_B, então BC é uma reta vertical e não tem coeficiente angular finito. Retas paralelas a uma reta vertical também são verticais.
  • A equação de uma reta vertical que passa por A=(x_A,y_A) é simplesmente
x = x_A.
  • Portanto, sempre verifique primeiro se x_C=x_B; se sim, responda com x=x_A. Se não, use a fórmula do Passo 3.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (para treinar): suponha que, em algum exercício, B=(0,0), C=(2,3) e A=(1,5). Então:
  • Primeiro calcule m_{BC}=\dfrac{3-0}{2-0}=\dfrac{3}{2}.
  • A reta procurada é
y-5=\tfrac{3}{2}(x-1),
ou desenvolvendo,
y=\tfrac{3}{2}x + \left(5-\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{3}{2}x + \tfrac{7}{2}.
  • Esse exemplo mostra o procedimento completo com números; o mesmo procedimento vale para os valores reais da sua figura, desde que você coloque coordenadas.

Resposta

y-y_A=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\,(x-x_A)
(se x_C\neq x_B);\n
x=x_A
(se x_C=x_B).

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