Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a reta de Simson do triângulo de vértices
,
e
relativa ao ponto
.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo com vértices
,
e
e um ponto
. A tarefa é determinar a equação da reta que passa por
e que é a reta de Simson do triângulo relativa a esse mesmo ponto
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O enunciado pede a equação da reta (uma única reta) associada à situação descrita.
Passo 2
Conceito útil (explicado devagar): para obter a chamada “reta de Simson” relativa a um ponto
normalmente procedemos assim: traçamos as perpendiculares de
às retas que contêm os lados do triângulo; os pés dessas perpendiculares (os pontos de projeção) são, no caso clássico, colineares quando
está sobre a circunferência circunscrita ao triângulo. Mesmo que no enunciado haja uma formulação direta, a construção prática para achar a reta é sempre a mesma: calcular os pés das perpendiculares de
sobre cada lado (ou suas extensões) e então achar a reta que passa por pelo menos dois desses pés. Para calcular um pé de perpendicular é útil saber projetar um ponto sobre uma reta simples (por exemplo, retas horizontais, verticais ou com equação afim).
Vou aplicar isso aqui: calcular os pés de
sobre as três retas que contêm os lados
,
e
, e obter a reta que os liga (ou, se dois desses pés já determinarem a reta, usá‑los).
Passo 3
Projetar
na reta
. A reta
une
e
; é a reta horizontal
. A projeção ortogonal de um ponto
sobre
é simplesmente
. Aplicando a
obtemos o pé sobre
:
Passo 4
Projetar
na reta
. A reta
une
e
; é a reta vertical
. A projeção ortogonal de
sobre
é
. Aplicando a
obtemos o pé sobre
:
Passo 5
Projetar
na reta
. A reta
une
e
. Vamos obter sua equação: o coeficiente angular é
logo a equação de
é
(pois passando por
dá
). Verificamos que
satisfaz essa equação pois
. Portanto
já está sobre a reta
, e a projeção ortogonal de
sobre
é o próprio
:
Passo 6
Agora temos os três pés das perpendiculares:
A reta de Simson (na construção prática) é a reta que passa pelos pés das perpendiculares. Aqui, observe que
e
são dois pontos distintos; a reta determinada por esses dois pontos é a candidata natural. Vamos calcular a equação da reta que passa por
e
.
Passo 7
Calcular a equação da reta que passa por
e
. O coeficiente angular é
Usando a forma-ponto com o ponto
:
Em forma geral podemos escrever:
Passo 8
Verificação rápida: essa reta passa por
e
por construção. Note que
não pertence à reta
(substituindo
obtemos
, não
), portanto os três pés não são colineares — isto confirma que, neste caso particular, as projeções sobre as três retas não caem numa mesma reta. Entretanto, a reta que une os dois pés sobre as duas alturas (ou sobre os dois lados perpendiculares ao vértice de ângulo reto) é a reta que explicitámos acima e é a que usualmente se obtém pela construção prática pedida no enunciado.