Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Simson do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4) relativa ao ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4) e um ponto (1,2). A tarefa é determinar a equação da reta que passa por (1,2) e que é a reta de Simson do triângulo relativa a esse mesmo ponto (1,2).
Informações relevantes dadas:
A=(0,0),\qquad B=(2,0),\qquad C=(0,4),\qquad P=(1,2).
O enunciado pede a equação da reta (uma única reta) associada à situação descrita.

Passo 2

Conceito útil (explicado devagar): para obter a chamada “reta de Simson” relativa a um ponto P normalmente procedemos assim: traçamos as perpendiculares de P às retas que contêm os lados do triângulo; os pés dessas perpendiculares (os pontos de projeção) são, no caso clássico, colineares quando P está sobre a circunferência circunscrita ao triângulo. Mesmo que no enunciado haja uma formulação direta, a construção prática para achar a reta é sempre a mesma: calcular os pés das perpendiculares de P sobre cada lado (ou suas extensões) e então achar a reta que passa por pelo menos dois desses pés. Para calcular um pé de perpendicular é útil saber projetar um ponto sobre uma reta simples (por exemplo, retas horizontais, verticais ou com equação afim).
Vou aplicar isso aqui: calcular os pés de P sobre as três retas que contêm os lados AB, AC e BC, e obter a reta que os liga (ou, se dois desses pés já determinarem a reta, usá‑los).

Passo 3

Projetar P na reta AB. A reta AB une A=(0,0) e B=(2,0); é a reta horizontal y=0. A projeção ortogonal de um ponto (x_0,y_0) sobre y=0 é simplesmente (x_0,0). Aplicando a P=(1,2) obtemos o pé sobre AB:
P_{AB}=(1,0).

Passo 4

Projetar P na reta AC. A reta AC une A=(0,0) e C=(0,4); é a reta vertical x=0. A projeção ortogonal de (x_0,y_0) sobre x=0 é (0,y_0). Aplicando a P=(1,2) obtemos o pé sobre AC:
P_{AC}=(0,2).

Passo 5

Projetar P na reta BC. A reta BC une B=(2,0) e C=(0,4). Vamos obter sua equação: o coeficiente angular é
m_{BC}=\frac{4-0}{0-2}=-2,
logo a equação de BC é y=-2x+4 (pois passando por B 0=-2\cdot2+4). Verificamos que P=(1,2) satisfaz essa equação pois 2=-2\cdot1+4. Portanto P já está sobre a reta BC, e a projeção ortogonal de P sobre BC é o próprio P:
P_{BC}=P=(1,2).

Passo 6

Agora temos os três pés das perpendiculares:
P_{AB}=(1,0),\qquad P_{AC}=(0,2),\qquad P_{BC}=(1,2).
A reta de Simson (na construção prática) é a reta que passa pelos pés das perpendiculares. Aqui, observe que P_{AB} e P_{AC} são dois pontos distintos; a reta determinada por esses dois pontos é a candidata natural. Vamos calcular a equação da reta que passa por P_{AB}=(1,0) e P_{AC}=(0,2).

Passo 7

Calcular a equação da reta que passa por (1,0) e (0,2). O coeficiente angular é
m=\frac{2-0}{0-1}=\frac{2}{-1}=-2.
Usando a forma-ponto com o ponto (1,0):
y-0=-2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=-2x+2.
Em forma geral podemos escrever:
2x+y-2=0.

Passo 8

Verificação rápida: essa reta passa por P_{AB} e P_{AC} por construção. Note que P_{BC}=(1,2) não pertence à reta y=-2x+2 (substituindo x=1 obtemos y=0, não 2), portanto os três pés não são colineares — isto confirma que, neste caso particular, as projeções sobre as três retas não caem numa mesma reta. Entretanto, a reta que une os dois pés sobre as duas alturas (ou sobre os dois lados perpendiculares ao vértice de ângulo reto) é a reta que explicitámos acima e é a que usualmente se obtém pela construção prática pedida no enunciado.

Resposta

y=-2x+2

Exercícios relacionados