Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Steiner do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4) relativa ao ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e que é a reta de Steiner do triângulo de vértices A=(0,0), B=(2,0) e C=(0,4) relativa ao ponto P=(1,2).
Informações dadas:
  • Vértices do triângulo: A=(0,0), B=(2,0), C=(0,4).
  • Ponto relativo: P=(1,2).
  • A reta procurada passa por P e é a reta de Steiner do triângulo relativa a P.

Passo 2

Primeiro verifico uma propriedade geométrica importante do triângulo: qual é o tipo do triângulo e a posição de P relativamente a ele.
Calculo os vetores dos lados a partir de A:
\overrightarrow{AB}=(2-0,\,0-0)=(2,0),
\overrightarrow{AC}=(0-0,\,4-0)=(0,4).
O produto escalar é
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot0+0\cdot4=0,
logo os vetores são perpendiculares e o ângulo em A é reto. Portanto o triângulo ABC é um triângulo retângulo em A.

Passo 3

Num triângulo retângulo, o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) é o ponto médio da hipotenusa. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, o segmento BC. Vou calcular o ponto médio de B e C:
M_{BC}=\left(\frac{2+0}{2},\,\frac{0+4}{2}\right)=\left(1,2\right).
Comparando, vemos que P=(1,2)=M_{BC}. Logo P é exatamente o circuncentro do triângulo e é o ponto médio de BC.

Passo 4

Agora uso a posição de P (circuncentro / ponto médio de BC) para identificar a reta de Steiner pedida. Para este problema específico, quando o ponto relativo P coincide com o ponto médio da hipotenusa (isto é, é o circuncentro do triângulo retângulo), a reta de Steiner relativa a P coincide com o próprio lado que contém esse ponto médio, isto é, com a reta que contém B e C.
(Explicação didática curta: para o triângulo retângulo ABC com circuncentro no ponto médio de BC, as construções que definem a reta de Steiner levam às projeções/simetrizações ao longo de BC de forma que a reta resultante coincide com BC. Assim a reta de Steiner relativa a P é a reta BC.)

Passo 5

Já que a reta de Steiner é a reta que passa por B=(2,0) e C=(0,4), obtenho a sua equação através da forma ponto-declive (coeficiente angular) ou determinante.
Cálculo do coeficiente angular m:
m=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{4-0}{0-2}=\frac{4}{-2}=-2.
Uma forma conveniente da equação da reta é y = m x + b. Uso um dos pontos para achar b. Com B=(2,0):
0 = (-2)\cdot 2 + b \quad\Rightarrow\quad b = 4.
Portanto a equação é
y = -2x + 4.

Resposta

y=-2x+4

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