Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a reta de Soddy do triângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto
e é a reta de Soddy do triângulo de vértices
,
e
.
Informações relevantes dadas:
- Vértices do triângulo:
, , . - Um ponto por onde a reta passa:
(observe que esse ponto é o ponto fornecido). - A reta pedida é a “reta de Soddy” do triângulo (vamos usar propriedades usuais dessa reta para construir a solução).
Passo 2
Plano de resolução (sem ainda desenvolver cálculos): vou usar a propriedade padrão em geometria do triângulo que define a reta de Soddy como a reta que contém o centro da circunferência circunscrita (circuncentro) e os centros de Soddy (interno/externo). No nosso triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa; verificamos que esse ponto é exatamente
(já dado). Portanto basta encontrar um dos centros de Soddy (por exemplo o centro de Soddy interno), calcular suas coordenadas exatas e então obter a equação da reta que passa por
e por esse centro de Soddy. Para localizar o centro de Soddy interno vou usar coordenadas trilineares conhecidas para esse ponto e converter para coordenadas cartesianas (vou explicar cada conceito e passo).
Explicando conceitos usados:
- Semiperímetro: para um triângulo com lados
, o semiperímetro é . - Trilineares: um ponto tem coordenadas trilineares
relativas ao triângulo se os motivos são proporcionais às distâncias dirigidas às retas dos lados; para converter trilineares em barycêntricas multiplicamos por . - Conversão para coordenadas cartesianas: se um ponto tem barycentrics
(relativos aos vértices ), suas coordenadas cartesianas são
isto é, soma ponderada das coordenadas dos vértices pelos pesos barycêntricos.
Fato usado sem demonstração (fórmula padrão): o centro de Soddy interno tem trilineares proporcionais a
Aplicarei essa fórmula e farei a conversão para coordenadas cartesianas passo a passo.
Passo 3
Calcular os comprimentos dos lados e o semiperímetro.
Lados (notação usual:
oposto a
,
oposto a
,
oposto a
):
Semiperímetro:
Passo 4
Obter as trilineares do centro de Soddy interno e converter para pesos barycêntricos.
Trilineares (proporcionais):
Calculemos
:
Barycêntricos obtidos multiplicando cada trilinear pelo lado correspondente:
Agora simplificamos cada um em forma mais simples (racionalizando quando necessário):
Para
:
Para
:
Para
:
Somando os pesos:
Agrupando os dois primeiros termos:
Adicionando
:
Passo 5
Converter para coordenadas cartesianas do centro de Soddy interno
usando as barycêntricas
e os vértices
,
,
.
Coordenada
:
Substituindo
e
:
Coordenada
:
Substituindo
e
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Portanto o centro de Soddy interno é
Passo 6
A reta de Soddy contém o circuncentro
(dado) e o centro de Soddy interno
calculado acima. Determinamos a equação da reta que passa por
e
.
Coeficiente angular (inclinação)
:
Equação da reta em forma ponto-inclinação usando
:
Podemos reescrever isolando
: