Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Soddy do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Soddy do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).
Informações relevantes dadas:
  • Vértices do triângulo: A=(0,4), B=(0,0), C=(2,0).
  • Um ponto por onde a reta passa: O=(1,2) (observe que esse ponto é o ponto fornecido).
  • A reta pedida é a “reta de Soddy” do triângulo (vamos usar propriedades usuais dessa reta para construir a solução).

Passo 2

Plano de resolução (sem ainda desenvolver cálculos): vou usar a propriedade padrão em geometria do triângulo que define a reta de Soddy como a reta que contém o centro da circunferência circunscrita (circuncentro) e os centros de Soddy (interno/externo). No nosso triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa; verificamos que esse ponto é exatamente (1,2) (já dado). Portanto basta encontrar um dos centros de Soddy (por exemplo o centro de Soddy interno), calcular suas coordenadas exatas e então obter a equação da reta que passa por (1,2) e por esse centro de Soddy. Para localizar o centro de Soddy interno vou usar coordenadas trilineares conhecidas para esse ponto e converter para coordenadas cartesianas (vou explicar cada conceito e passo).
Explicando conceitos usados:
  • Semiperímetro: para um triângulo com lados a,b,c, o semiperímetro é s=\dfrac{a+b+c}{2}.
  • Trilineares: um ponto tem coordenadas trilineares \alpha:\beta:\gamma relativas ao triângulo se os motivos são proporcionais às distâncias dirigidas às retas dos lados; para converter trilineares em barycêntricas multiplicamos por a,b,c.
  • Conversão para coordenadas cartesianas: se um ponto tem barycentrics u:v:w (relativos aos vértices A,B,C), suas coordenadas cartesianas são
(x,y)=\frac{u\,A+v\,B+w\,C}{u+v+w},
isto é, soma ponderada das coordenadas dos vértices pelos pesos barycêntricos.
Fato usado sem demonstração (fórmula padrão): o centro de Soddy interno tem trilineares proporcionais a
\frac{1}{s-a}:\frac{1}{s-b}:\frac{1}{s-c}.
Aplicarei essa fórmula e farei a conversão para coordenadas cartesianas passo a passo.

Passo 3

Calcular os comprimentos dos lados e o semiperímetro.
Lados (notação usual: a=BC oposto a A, b=CA oposto a B, c=AB oposto a C):
a=|BC|=| (0,0)-(2,0)|=2,
b=|CA|=| (2,0)-(0,4)|=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},
c=|AB|=| (0,4)-(0,0)|=4.
Semiperímetro:
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2+2\sqrt5+4}{2}=3+\sqrt5.

Passo 4

Obter as trilineares do centro de Soddy interno e converter para pesos barycêntricos.
Trilineares (proporcionais):
\frac{1}{s-a}:\frac{1}{s-b}:\frac{1}{s-c}.
Calculemos s-a,\;s-b,\;s-c:
s-a=(3+\sqrt5)-2=1+\sqrt5,
s-b=(3+\sqrt5)-2\sqrt5=3-\sqrt5,
s-c=(3+\sqrt5)-4=-1+\sqrt5=\sqrt5-1.
Barycêntricos obtidos multiplicando cada trilinear pelo lado correspondente:
u=a\cdot\frac{1}{s-a}=\frac{2}{1+\sqrt5},\qquad v=b\cdot\frac{1}{s-b}=\frac{2\sqrt5}{3-\sqrt5},\qquad w=c\cdot\frac{1}{s-c}=\frac{4}{\sqrt5-1}.
Agora simplificamos cada um em forma mais simples (racionalizando quando necessário):
Para u:
u=\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{2( \sqrt5-1)}{(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}=\frac{2(\sqrt5-1)}{5-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}.
Para v:
v=\frac{2\sqrt5}{3-\sqrt5}=\frac{2\sqrt5(3+\sqrt5)}{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=\frac{2\sqrt5(3+\sqrt5)}{9-5}=\frac{2\sqrt5(3+\sqrt5)}{4}=\frac{3\sqrt5+5}{2}.
Para w:
w=\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1.
Somando os pesos:
W=u+v+w=\frac{\sqrt5-1}{2}+\frac{3\sqrt5+5}{2}+(\sqrt5+1).
Agrupando os dois primeiros termos:
\frac{\sqrt5-1+3\sqrt5+5}{2}=\frac{4\sqrt5+4}{2}=2\sqrt5+2.
Adicionando w:
W=2\sqrt5+2+\sqrt5+1=3\sqrt5+3=3(\sqrt5+1).

Passo 5

Converter para coordenadas cartesianas do centro de Soddy interno S usando as barycêntricas u:v:w e os vértices A=(0,4), B=(0,0), C=(2,0).
Coordenada x:
x=\frac{u\cdot x_A+v\cdot x_B+w\cdot x_C}{W} =\frac{u\cdot 0 + v\cdot 0 + w\cdot 2}{W} =\frac{2w}{W}.
Substituindo w=\sqrt5+1 e W=3(\sqrt5+1):
x=\frac{2(\sqrt5+1)}{3(\sqrt5+1)}=\frac{2}{3}.
Coordenada y:
y=\frac{u\cdot y_A+v\cdot y_B+w\cdot y_C}{W} =\frac{u\cdot 4 + v\cdot 0 + w\cdot 0}{W} =\frac{4u}{W}.
Substituindo u=\dfrac{\sqrt5-1}{2} e W=3(\sqrt5+1):
y=\frac{4\cdot\frac{\sqrt5-1}{2}}{3(\sqrt5+1)} =\frac{2(\sqrt5-1)}{3(\sqrt5+1)}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por (\sqrt5-1):
y=\frac{2(\sqrt5-1)^2}{3(5-1)}=\frac{2(6-2\sqrt5)}{12}=\frac{6-2\sqrt5}{6}=\frac{3-\sqrt5}{3}.
Portanto o centro de Soddy interno é
S=\left(\frac{2}{3},\;\frac{3-\sqrt5}{3}\right).

Passo 6

A reta de Soddy contém o circuncentro O=(1,2) (dado) e o centro de Soddy interno S calculado acima. Determinamos a equação da reta que passa por O e S.
Coeficiente angular (inclinação) m:
m=\frac{y_O-y_S}{x_O-x_S} =\frac{2-\dfrac{3-\sqrt5}{3}}{1-\dfrac{2}{3}} =\frac{\dfrac{6-(3-\sqrt5)}{3}}{\dfrac{1}{3}} =\frac{\dfrac{3+\sqrt5}{3}}{\dfrac{1}{3}}=3+\sqrt5.
Equação da reta em forma ponto-inclinação usando O=(1,2):
y-2=(3+\sqrt5)(x-1).
Podemos reescrever isolando y:
y=(3+\sqrt5)x-(1+\sqrt5).

Resposta

y=(3+\sqrt5)\,x-(1+\sqrt5)

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