Uma força vertical de 50 lb atua no eixo da manivela. Determine a força de equilíbrio horizontal
que deve ser aplicada ao cabo da manivela, os componentes de reação x , y e z no mancal simples em A e no mancal de encosto em B. Os mancais estão adequadamente alinhados e exercem apenas forças de reação no eixo.

Passo 1

O enunciado (do jeito que você mandou) diz o seguinte:
  • Há uma manivela (um eixo) apoiada em dois mancais: um mancal simples em A e um mancal de encosto em B.
  • Uma força vertical de 50\\ \text{lb} atua no eixo/manivela.
  • Pede-se: (i) a força horizontal de equilíbrio que deve ser aplicada ao cabo da manivela; (ii) os componentes de reação x, y, z no mancal simples em A; (iii) os componentes de reação x, y, z no mancal de encosto em B.
  • Informação adicional dada: os mancais estão adequadamente alinhados e exercem apenas forças de reação no eixo (ou seja, não transmitem momento).
Informações IMPORTANTES que NÃO foram fornecidas no enunciado que são necessárias para uma solução numérica:
  • A figura com as posições relativas (local de aplicação da força de 50\\ \text{lb}, ponto de aplicação da força do cabo, localização dos mancais A e B e distâncias entre eles).
  • As coordenadas ou dimensões (distâncias ao longo do eixo, deslocamentos transversais, orientação exata do cabo: em qual direção horizontal atua).
  • Sentido exato da força vertical (para cima ou para baixo) e sentido da força do cabo (para a direita ou esquerda), e se a força de 50\\ \text{lb} atua no mesmo plano que o eixo ou deslocada lateralmente.
Conclusão deste passo: não há dados geométricos suficientes para calcular valores numéricos. A resolução abaixo vai explicar, passo a passo, o método que você deve aplicar assim que tiver a figura/dimensões corretas — e quais equações montar. No final eu digo exatamente quais dados você precisa mandar para eu resolver numericamente para você.

Passo 2

Princípios físicos e equações que vamos usar (a “aula”):
  • Corpos rígidos em equilíbrio estático satisfazem as equações vetoriais: \sum \mathbf{F}=\mathbf{0}
\sum \mathbf{M}_O=\mathbf{0}
onde \mathbf{F} são todas as forças externas e \mathbf{M}_O são todos os momentos das forças externas em relação a um ponto de referência O.
  • Em componentes cartesianas (escolhendo um sistema x,y,z): \sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum F_z=0
\sum M_x=0,\qquad \sum M_y=0,\qquad \sum M_z=0.
  • Momento de uma força \mathbf{F} em relação a um ponto O é dado por produto vetorial \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F},onde \mathbf{r} é o vetor posição do ponto de aplicação (a partir de O).
  • Para problemas com dois apoios que só exercem forças (sem momento), temos 6 incógnitas (componentes de reação em A e B) e 6 equações (3 forças + 3 momentos). Se houver uma força extra desconhecida (a força do cabo) acrescentamos incógnitas e precisamos de geometria para fechar o sistema. Por isso a posição de aplicação e a direção do cabo são cruciais.
Explicando em palavras simples: vamos somar forças nas três direções e somar momentos em torno de três eixos; as posições (vetores \mathbf{r}) dizem como cada força cria momentos. Com as equações resultantes resolvemos para as reações em A e B e para a força do cabo (se for única incógnita).

Passo 3

Escolha conveniente de sistema de referências e definição das incógnitas (padrão que uso e que costuma aparecer em provas):
  • Escolha o eixo do eixo/manivela como o eixo x. Assim o eixo passa por A e B; suponha A na origem O e B em x=L (isto é uma escolha clássica e simplifica a álgebra).
  • Tome y como vertical (para cima) e z como a direção horizontal transversal, seguindo um sistema ortogonal direito (x,y,z).
  • Denote as reações no mancal A por \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z),e as reações no mancal B por \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z).
  • Denote a força do cabo (que é horizontal segundo o enunciado) por \mathbf{F}_c. Como não temos a figura, vamos representá‑la de forma geral como uma força horizontal aplicada num ponto C com vetor posição \mathbf{r}_C=(x_C,y_C,z_C) em relação a A. “Horizontal” significa que a componente vertical é zero, então \mathbf{F}_c=(F_{cx},0,F_{cz}). Em situações simples de prova o cabo costuma atuar numa direção perpendicular ao eixo, por exemplo \mathbf{F}_c=(0,0,F_c) (apenas componente em z), mas eu mantenho a forma geral para cobrir mais casos.
  • A força vertical de 50\\ \text{lb} aplique‑se num ponto P com vetor posição \mathbf{r}_P=(x_P,y_P,z_P) e força \mathbf{F}_{50}=(0,-50,0) se for para baixo (ou (0,+50,0) se for para cima). Vou assumir o sentido para baixo como exemplo ( (0,-50,0)); se na sua figura estiver para cima, basta trocar o sinal.
Observação: todas as coordenadas x_P,y_P,z_P,x_C,y_C,z_C e L são dados geométricos que devem aparecer na figura — sem eles não se obtém números.

Passo 4

Escrevendo as equações de equilíbrio de forças (componentes):
  • Somando forças nas três direções obtemos \sum F_x: \quad A_x + B_x + F_{cx} = 0
\sum F_y: \quad A_y + B_y + F_{50,y} = 0
\sum F_z: \quad A_z + B_z + F_{cz} = 0
onde F_{50,y}=-50 se a força de 50\\ \text{lb} estiver para baixo. Estas equações dizem: as reações em A e B somadas mais a força do cabo e outras forças externas devem somar zero em cada direção.
Explicação didática: cada equação equivale a projetar a soma vetorial das forças sobre os eixos x,y,z. Se você estiver na prova, identifique cada força e escreva sua componente em x,y,z. Não se esqueça de sinais (sentido).

Passo 5

Escrevendo as equações de equilíbrio de momentos em relação a A (isso elimina as reações em A das equações de momento, pois momento de \mathbf{A} em A é zero):
  • A equação vetorial é \mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50} \;+\; \mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c \;+\; \mathbf{r}_B\times\mathbf{B} \;=\; \mathbf{0},onde \mathbf{r}_B=(L,0,0) é a posição de B relativa a A.
  • Escrevendo em componentes (usando o produto vetorial), obtemos três equações escalares: \sum M_x:\quad (\mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50})_x + (\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c)_x + ( \mathbf{r}_B\times\mathbf{B} )_x = 0,
\sum M_y:\quad (\mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50})_y + (\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c)_y + ( \mathbf{r}_B\times\mathbf{B} )_y = 0,
\sum M_z:\quad (\mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50})_z + (\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c)_z + ( \mathbf{r}_B\times\mathbf{B} )_z = 0.
Agora um pequeno cálculo simbólico útil (faça isso na prova): para o caso \mathbf{r}_B=(L,0,0) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z),
\mathbf{r}_B\times\mathbf{B} = (L,0,0)\times(B_x,B_y,B_z) = (0,-L\,B_z,\,L\,B_y).
Isto quer dizer que o produto vetor com \mathbf{r}_B tem componente x nula; portanto a equação do momento em x (torção em torno do eixo) não contém as componentes de \mathbf{B} — ela só envolve os momentos das forças externas (a 50\\ \text{lb} e do cabo). Em linguagem de prova: o momento em torno do eixo x deve ser zero só por balanço das forças externas, porque os apoios alinhados no eixo não podem resistir um momento em torno do próprio eixo com um braço em x.

Passo 6

Resolver simbolicamente em ordem prática (como fazer na prova, passo a passo):
  1. Calcule \mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50}. Um cálculo rápido: \mathbf{r}_P=(x_P,y_P,z_P),\quad \mathbf{F}_{50}=(0,-50,0)
\mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50} = \big(50 z_P,\;0,\;-50 x_P\big).
(Mostrei a conta para você entender: use a regra do determinante.)
2. Calcule \mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c. Se \mathbf{F}_c=(F_{cx},0,F_{cz}) e \mathbf{r}_C=(x_C,y_C,z_C), então
\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c = \big(y_C F_{cz}-z_C\cdot 0,\; z_C F_{cx}-x_C F_{cz},\; x_C\cdot 0 - y_C F_{cx}\big)
que simplifica para
\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c = \big(y_C F_{cz},\; z_C F_{cx}-x_C F_{cz},\; -y_C F_{cx}\big).
(Se o cabo estiver aplicado apenas em z, isto simplifica muito; veja sua figura.)
3. Escreva as três equações de momento substituindo os termos calculados e lembrando que \mathbf{r}_B\times\mathbf{B}=(0,-L B_z, L B_y).
  • Em x: 50 z_P \;+\; (y_C F_{cz}) \;+\; 0 \;=\; 0.Observe: essa equação não contém \mathbf{A} nem \mathbf{B}; ela é uma condição entre a posição do 50\\ \text{lb} e a componente do cabo em z. Se o lado esquerdo não for zero, não há equilíbrio possível com apenas reações A e B (sem momentos).
  • Em y: 0 \;+\; \big(z_C F_{cx}-x_C F_{cz}\big) \;-\; L B_z \;=\; 0.Dessa equação pode-se resolver B_z (pois todas as outras quantidades são conhecidas se a geometria for conhecida).
  • Em z: -50 x_P \;+\; \big(-y_C F_{cx}\big) \;+\; L B_y \;=\; 0.Dessa equação pode-se resolver B_y.
  1. Uma vez encontrados B_y e B_z (em função de F_{cx},F_{cz} e das coordenadas), as equações de força em y e z dão A_y e A_z: A_y = -B_y - F_{50,y},\qquad A_z = -B_z - F_{cz}.
  2. A equação de forças em x A_x + B_x + F_{cx} = 0liga A_x e B_x. Normalmente, mais uma condição relacionada com a maneira como os mancais suportam cargas axiais (por exemplo, se um dos mancais não suporta esforço axial, então B_x ou A_x seria zero) permite determinar A_x e B_x separadamente. Se ambos os mancais suportam axial, não existe equação adicional: qualquer divisão entre A_x e B_x que some a -F_{cx} satisfaz forças; mas os momentos podem fixar a distribuição. Na prática de provas, a figura costuma indicar qual mancal suporta axial (por exemplo, o mancal de encosto em B suporta axial e o mancal simples em A não), aí você define A_x=0 ou B_x=0 conforme o caso e encontra a outra reação.
Dicas práticas para a prova: identifique logo qual mancal suporta axial (se houver indicação), escreva as equações de momento sobre A para achar componentes em B, depois use somas das forças para achar A. Sempre verifique a equação do momento em torno do eixo (aquela que não envolve \mathbf{B} quando \mathbf{r}_B está sobre o eixo) — ela frequentemente dá diretamente a condição que fixa a força do cabo.

Passo 7

Interpretação da equação do momento em torno do eixo (regra rápida e importante para esta questão):
  • A equação \sum M_x=0 (momento em torno do eixo) normalmente fica: (\mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50})_x + (\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c)_x = 0.Esta é a equação que tipicamente determina a força horizontal do cabo F_c (ou sua componente relevante), porque os termos envolvendo \mathbf{B} desaparecem quando \mathbf{r}_B está sobre o eixo x.
  • Em palavras: o cabo deve ser tal que o momento de sua ação em torno do eixo neutralize a torção causada pela aplicação da força vertical de 50\\ \text{lb}. A posição (coordenadas y_C,z_C,x_P,z_P etc.) entra nessa equação; se você conhecer essas coordenadas, isolamos F_{cx} ou F_{cz} e já temos a força do cabo.
Exemplo simbólico (fórmula): suponha que o cabo atue somente na direção z, \mathbf{F}_c=(0,0,F_c). Então
(\mathbf{r}_P\times\mathbf{F}_{50})_x + (\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}_c)_x = 50 z_P + y_C F_c = 0,
logo
F_c = -\dfrac{50\, z_P}{y_C}.
Isso é uma fórmula do tipo que você encontrará na prova: a força do cabo é a razão entre o momento provocado pela força vertical e o braço do cabo. Observe os sinais e o sentido físico: o sinal negativo indica sentido oposto da nossa convenção; no exame você deverá dar o valor e o sentido (para a esquerda/direita ou para dentro/fora).

Passo 8

Como achar B_y e B_z e depois A_y, A_z (passo a passo que você deve executar na prova assim que tiver medidas):
  • Obtenha F_c (ou sua componente relevante) a partir da equação do momento em x como mostrei no passo anterior.
  • Substitua F_c nas equações de momento em y e z para achar B_z e B_y: B_z = \dfrac{z_C F_{cx} - x_C F_{cz}}{L},
B_y = \dfrac{50 x_P + y_C F_{cx}}{L} \quad\text{(atenção aos sinais conforme convenção)}.çãçã
(Estas fórmulas derivam de isolar B_z e B_y das equações do passo 6; aqui usei os sinais conforme a escrita anterior.)
  • Então use as somas de forças: A_y = -B_y - F_{50,y},\qquad A_z = -B_z - F_{cz}.
  • Para A_x e B_x, use a soma de forças em x e qualquer condição adicional da figura (por exemplo, se o mancal A for simples e não suporta cargas axiais, então A_x=0 e B_x=-F_{cx}). A prova deve indicar qual mancal suporta o esforço axial.

Passo 9

Pequena checklist de verificação (coisas que eu faria na sua prova para não errar):
  • Confirmar orientação dos eixos e sentidos das forças (sinais).
  • Calcular cuidadosamente os vetores posição \mathbf{r}_P,\mathbf{r}_C,\mathbf{r}_B a partir da figura; meça os braços em relação a A se você colocou A na origem.
  • Fazer o produto vetorial com calma; escrever cada componente separadamente.
  • Resolver primeiro a equação do momento em torno do eixo do eixo (normalmente resolve F_c ou dá uma condição sobre posições).
  • Depois encontrar B_y,B_z pelas equações de momento em y e z e finalmente A_y,A_z pelas somas de forças.
  • Para componente axial ( x), verificar instrução da figura sobre qual mancal transmite axial; se não houver indicação, a divisão A_x,B_x pode ficar indeterminada.

Passo 10

O que eu preciso que você me envie para eu resolver numericamente agora (e eu resolvo passo a passo com números e resposta final):
  1. A figura ou, se não puder mandar figura, as coordenadas (em polegadas ou centímetros) relativas: \mathbf{r}_P=(x_P,y_P,z_P) — posição do ponto de aplicação da força de 50\\ \text{lb} em relação a A.
  2. A posição do ponto de aplicação do cabo \mathbf{r}_C=(x_C,y_C,z_C).
  3. A orientação exata da força do cabo (se é puramente em z, em x, em uma combinação etc.). Se disser “horizontal” diga se é ao longo de z ou ao longo de x ou numa direção inclinada no plano xz.
  4. A distância entre os mancais (valor de L entre A e B).
  5. O sentido da força de 50\\ \text{lb} (para baixo ou para cima).
  6. Indicação se algum mancal não suporta força axial (por exemplo, se A_x=0 ou B_x=0).
Assim que você mandar esses dados eu monto as equações com os números, resolvo linearmente e te retorno cada componente com explicação detalhada e verificação de sinais.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos porque a figura/dimensões (posições \mathbf{r}_P, \mathbf{r}_C, distância L entre A e B e a orientação exata do cabo) não foram fornecidas. Para resolver, envie esses dados que eu calculo passo a passo a força do cabo F_c e as reações A_x,A_y,A_z,B_x,B_y,B_z.

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