Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, -3) e tem inclinação 5.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (4,-3) e tem inclinação 5.\n
Dados fornecidos:
  • Um ponto da reta: (4,-3).
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta: m=5.\n
    Pergunta: qual é a equação da reta que satisfaz esses dois dados?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a inclinação m de uma reta no plano cartesiano mede quanto a ordenada y sobe (ou desce) quando x aumenta de uma unidade. Em termos simples, m=\dfrac{\text{variação em }y}{\text{variação em }x}çãçã. Por exemplo, m=5 significa que para cada aumento de 1 em x a reta sobe 5 em y.\n
Fórmula que usamos na prova (fórmula ponto-inclinação): se uma reta tem inclinação m e passa por um ponto (x_0,y_0), então a equação da reta é
y - y_0 = m(x - x_0).
Aqui:
  • (x_0,y_0) é o ponto conhecido da reta,
  • m é a inclinação,
  • x e y são as variáveis que descrevem qualquer ponto genérico na reta.\n
    Essa fórmula vem direto da definição de inclinação: \dfrac{y-y_0}{x-x_0}=m, multiplicando ambos os lados por x-x_0 obtemos a forma acima.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ponto-inclinação substituindo (x_0,y_0)=(4,-3) e m=5. Substituição direta:
y - (-3) = 5\bigl(x - 4\bigr).
Simplificando o sinal duplo no lado esquerdo:
y + 3 = 5\bigl(x - 4\bigr).

Passo 4

Desenvolvemos (distribuímos) o produto no lado direito e isolamos y para obter a forma mais conhecida y=mx+b (forma reduzida ou forma angular). Primeiro a distribuição:
y + 3 = 5x - 20.
Agora subtraímos 3 dos dois lados para isolar y:
y = 5x - 20 - 3.
y = 5x - 23.
Essa é a forma reduzida: y = mx + b com m=5 e b=-23. Aqui b é o coeficiente linear (intercepto em y), que indica onde a reta cruza o eixo y.

Passo 5

Verificação simples (importante na prova): plugamos x=4 na equação encontrada para checar se o ponto dado fica satisfeito:
y = 5\cdot 4 - 23 = 20 - 23 = -3,
que é exatamente a ordenada do ponto fornecido. Portanto a equação está correta.\n
Opcional: outra forma equivalente (forma geral) é escrever todos os termos no mesmo lado:
5x - y - 23 = 0
ou
5x - y = 23.

Resposta

y = 5x - 23

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