Determine a equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (5, 5).

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a equação da reta que passa pelos pontos (3,3) e (5,5)".
Dados fornecidos: os dois pontos por onde a reta passa são (3,3) e (5,5).
Pergunta a responder: encontrar a equação da reta (uma expressão do tipo \;y = mx + b\; ou equivalente) que contém esses dois pontos.

Passo 2

Vamos lembrar o que é inclinação (declive) de uma reta e como calculá-la. A inclinação m mede a “subida” da reta quando nos deslocamos à direita. A fórmula para a inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui, x_1 e y_1 são as coordenadas do primeiro ponto, x_2 e y_2 as do segundo. O numerador (y_2-y_1) é o “subir” (rise) e o denominador (x_2-x_1) é o “andar para a direita” (run). Essa fórmula é uma definição — sempre que tiver dois pontos distintos, ela dá a inclinação da reta que passa por eles.

Passo 3

Aplicando a fórmula da inclinação aos pontos dados. Tome (x_1,y_1)=(3,3) e (x_2,y_2)=(5,5). Então
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-3}{5-3}=\frac{2}{2}=1.
Portanto a inclinação da reta é \;m=1.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é prática quando conhecemos um ponto e a inclinação:
y-y_1 = m(x-x_1).
Nessa fórmula, m é a inclinação (já calculada) e (x_1,y_1) é qualquer um dos pontos da reta. Ela representa a mesma reta independentemente de qual dos dois pontos escolhermos.

Passo 5

Substituímos m=1 e o ponto (3,3) na forma ponto-inclinação:
y-3 = 1\cdot (x-3).
Agora simplificamos:
y-3 = x-3 \quad\Rightarrow\quad y = x.
Também poderíamos ter usado o outro ponto (5,5); daria o mesmo resultado:
y-5 = 1\cdot (x-5)\Rightarrow y=x.

Passo 6

Verificação rápida: substituindo (3,3) na equação \;y=x\; temos 3=3 (ok). Substituindo (5,5) temos 5=5 (ok). Então a equação \;y=x\; realmente passa pelos dois pontos.

Resposta

y=x

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