Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2,3) e B(4,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta em R^3 que passa pelos pontos A(1,2,3) e B(4,-1,2). Para isso vamos usar o conceito de vetor diretor de uma reta no espaço e as formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor diretor d da reta como a diferença dos vetores posição de B e A:
d = AB = (4-1,,-1-2,,2-3) = (3,,-3,,-1)

Passo 3

Com um ponto da reta, por exemplo A(1,2,3), e o vetor diretor d=(3,-3,-1), a forma vetorial da reta é
r(t) = l(1,2,3r) + t,(3,-3,-1), tinR
Separando em equações paramétricas, temos
x = 1 + 3t, y = 2 - 3t, z = 3 - t

Passo 4

Da forma paramétrica podemos ainda escrever a forma simétrica, desde que os denominadores não sejam zero:
x-13 = y-2-3 = z-3-1

Resposta

A reta que passa por A(1,2,3) e B(4,-1,2) pode ser descrita por:
r(t) = (1,2,3) + t,(3,-3,-1), tinR,
ou equivalentemente
x-13 = y-2-3 = z-3-1

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