Estude a convergência das seguintes integrais:
integral1^infty sen xx^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral1^inftysin xx^3,dx
O conteúdo aqui é o estudo de convergência de integrais em intervalo infinito e o que vamos usar é o teste de comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos a integral
integral1^infty|sin x|x^3,dx
e observamos que, para todo x>=1, vale
0<=|sin x|x^3<=1x^3

Passo 3

A integral
integral1^infty1x^3,dx
é uma integral tipo p com p=3>1, logo converge. Em particular,
integral1^infty1x^3,dx =[-12x^2]1^infty =12

Passo 4

Pelo teste de comparação, como
integral1^infty1/x^3,dx converge, então
integral1^infty|sin x|/x^3,dx também converge. Isso mostra que a integral original converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A integral integral1^inftysin xx^3,dx converge absolutamente.

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